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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 77

A haste ABC de massa total em é dobrada como mostrado e é apoiada em um plano vertical por um pino em B e uma mola de k constante em C. Se a extremidade C receber um pequeno deslocamento e for liberada, determine a frequência do movimento resultante em termos de em, L e k.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a frequência do movimento resultante em termos de em, L e k.

Posição 1

T 1 = 1 2 I B θ ˙ m 2 V 1 = 1 2 k δ S T 2

Posição 2

T 2 = 0 V 2 = - m 2 g h - m 2 g L 2 s i n ⁡ θ m + 1 2 k L θ m + δ S T 2

h = L 2 1 - c o s ⁡ θ n t = 2 L 2 s i n 2 ⁡ θ m 2 h ≈ θ 2 m L 4 V 2 = - m 2 g L 4 θ m 2 - m 2 g L 2 θ m + 1 2 k L θ m + δ S r 2

s i n ⁡ θ m ≈ θ m

Passo 2

Conservação de energia

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

1 2 I B θ ˙ m 2 + 1 2 k δ S T 2 = 0 - m 2 g L θ m 2 4 - m g 2 L 2 θ m + 1 2 k L 2 θ m 2 + δ S T 2 + 2 L δ S r θ n t (1)

Quando a haste está em equilíbrio  

+ )  Σ M B = 0 = m 2 g L 2 - k L δ S T   (2)

Substituir Eq (2) em (1)

I B θ ˙ m 2 = k l 2 - m g L 4 θ m 2 θ ˙ m = ω n θ m

I B ω n 2 θ m 2 = k L 2 - m g L 4 θ a r 2

ω n 2 = k L 2 - m g L 4 I B

I B = 2 1 3 m 2 L 2 = m L 2 3

ω n 2 = k L 2 - m g l 4 m L 2 3 = 3 k m - 3 g 4 L

Frequência da oscilação

f ˙ n = ω n 2 π = 3 2 π k m - g 4 L

Resposta

f ˙ n = ω n 2 π = 3 2 π k m - g 4 L

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