Enunciado

Para as barras do P r o b .   2.63 , determinar:

  1. A temperatura á qual a tensão na barra AB deve ser de - 138   M P a ;
  2. A correspondente deformação na barra AB.

Passo 1

Sabemos que as barras iram aquecer e deverão vencer os vãos que elas fazem parte, e irão começar a se pressionar, com isso, elas produziram forças que deveremos calcular.

∑ F v = 0 = F A - F D

F A = F D

E aqui vamos usar um caminho diferente, como já temos a tensão na barra, vamos fazer o caminho inverso para acharmos a reação na parede, sendo assim sabemos que temos a seguinte força normal a ser descoberta:

Sabemos que a tensão é dada por -138 Mpa. E sabemos que a fórmula que determina a tensão é:

σ A B = N A B A A B

- 138 = N A B π 75 2 4

N A B = - 609665   N = - 610   k N

Como deu negativo precisamos inverter o sentido da força na nossa seção, e assim teremos que:

E assim a reação na parede será:

F A = F D = 610   k N

Agora precisamos de uma equação de compatibilidade para podermos resolver o nosso problema. Perceba que a deformação total entre os pontos A e D tem que ser igual a distância entre as barras, que nesse caso é 0,5mm no somatório de deformações, e que teremos deformações devido a temperatura e devido aos normais que aparecem nas paredes, dessa forma teremos que:

δ A B + δ T A B + δ C D + δ T C D = 0,5

Em que:

δ A B = N A B L A B E A B A A B

δ C D = N C D L C D E C D A C D

δ T A B = L A B ∆ T α A B

δ T C D = L C D ∆ T α C D

E sabemos que os dados do enunciado são dados por:

L A B = 250 m m

L C D = 250 m m

A A B = A C D = π D 2 4 = π 75 2 4 = 4417,9   m m 2

∆ T = ?

E A B = 105   G P a = 105 k N m m 2

E C D = 70   G P a = 70 k N m m 2

α A B = 20,9   .   10 - 6 1 C °

α C D = 23,6   .   10 - 6 1 C °

E agora precisamos jogar tudo na nossa fórmula.

Passo 2

Substituindo na nossa fórmula teremos que:

δ A B + δ T A B + δ C D + δ T C D = 0,5

N A B L A B E A B A A B + L A B ∆ T α A B + N C D L C D E C D A C D + L C D ∆ T α C D = 0,5

- 610   .     250 105   .     4417,9 + 250   .     ∆ T   .   20,9   .     10 - 6 + - 610   .     250 70   .     4417,9 + 250   .     ∆ T   .     23,6   .   10 - 6 = 0,5

- 0,3288 + 5,225   .     10 - 3   ∆ T - 0,4931 + 5,9   .     10 - 3 ∆ T = 0,5

11,125   .     10 - 3 ∆ T = 1,322

∆ T = 119   ° C

Passo 3

E para determinar a deformação da barra AB basta usarmos a seguinte equação:

ε = σ E = - 138 105000 = 1,31   .   10 - 3

δ = L ε = 250   .   1,31   .   10 - 3 = 0,3275   m m

Resposta

  1. ∆ T = 119   ° C
  2. δ = 0,3275   m m
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