Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 118
Um cabo de 50 m é suspenso entre dois pontos por uma distância de 15 m de separação e na mesma elevação. Se a tração mínima nos cabos é 200 kN, determine o peso total do cabo e a tração máxima desenvolvida no cabo.
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Esta é uma questão semelhante ao exercício resolvido 7.13. Pelo menos em termo de geometria (e solução de equação), ela é idêntica. Relembrando, a geometria é:
Aqui temos uma corda de comprimento suspensa entre dois pontos por uma distância . A questão também nos diz que a tração mínima é .
Com posse de todas as informações precisamos determinar o peso total do cabo, (assumimos aqui que o peso é distribuído uniformemente) e a tração máxima desenvolvida no cabo.
Para isto, precisamos determinar a equação da curva que define o cabo. E para isto, como o cabo está sujeito ao próprio peso, temos que começar resolvendo a seguinte integral:
Para nossa alegria, já sabemos que o resultado da integração acima é:
Passo 2
Agora temos que descobrir quem as constantes da nossa equação. Para isto, teremos que aplicar as condições de contorno do problema.
Para o sistema de coordenadas fixado no ponto de mínimo da corda, teremos as seguintes condições: em e . Só que possamos aplicar estas condições, temos que manipular as nossas relações
Vamos começar aplicando . Para isto, precisamos lembrar que:
Sendo esse o mesmo da equação que obtivemos no Passo 1. Então, aplicando a condição, temos:
Aplicando a condição que quando , temos:
E assim chegamos à relação:
E consequentemente,
Passo 3
Agora que obtivemos a equação de como função de , já podemos calcular a primeira informação da questão, que é o peso total do cabo. Substituindo todas as informações da questão, temos:
Resolvendo a equação acima obtemos:
E portanto, o peso total do cabo é:
Passo 4
Para finalizarmos a questão, basta descobrirmos a tração máxima na corda. Esta tração ocorrerá no ponto de maior inclinação. Isto é, o ponto em que for máximo.
Para esta questão, como , obtido no Passo 2, então, a inclinação será máxima nas extremidades, em .
Escolhendo , teremos .
Por fim, a tração máxima será:
E assim finalizamos a questão!