Cada uma das três barras de aço mostradas na figura deve ser girada por um ângulo de 2 ° . Sabendo que b=30 mm, τ a d m = 50   M P a ,   e G=27 GPa, determine o menor comprimento admissível para cada barra.

Passo 1

Bom, pra ficar mais organizadinho, vamos escrever de início o que nós temos:

b = 30   m m = 0,03   m

G = 27 × 10 9 P a

τ a d m = 50 × 10 6   P a

ϕ = 2 °

Para a barra quadrada e para a retangular temos a relação

τ = T c 1 a b 2   e   ϕ = T L c 2 a b 3 G

Se nós dividirmos e segunda equação pela primeira (com o objetivo de elimiar o T) teremos

ϕ τ = c 1 a b 2 L c 2 a b 3 G

Isolando o L, já que é o que a questão quer da gente

L = c 2 b G ϕ c 1 τ

Passo 2

a) Para determinar o menor comprimento da primeira barra (base quadrada) precisamos inicialmente encontrar a realção entra a e b para encontrarmos os valor de c 1   e   c 2 na tabela 3.1:

a = b ,   l o g o   a b = 1

Então, pela tabela 3.1 temos

c 1 = 0,208

c 2 = 0,1406

Temos então pela fórmula que deduzimos no passo anterior

L = c 2 b G ϕ c 1 τ

L = 0,1406 0,03 27 × 10 9 34,907 × 10 - 3 0,208 50 × 10 6 = 382 × 10 - 3   m

L = 382   m m

Agora fazemos o mesmo as outras barras.

Passo 3

b) agora trabalhando com a barra de base circular:

Como estamos lidando com um círculo temos pela teoria que a relação entra c e b é dada por:

c = b 2 = 0,03 2 = 0,05   m

Vamos descobrir o valor desse L ai pelas relações abaixo

τ m a x = T c J   e   ϕ = T L G J

Se, assim como no passo 1, dividirmos ϕ   p o r   τ , para eliminarmos T, e em seguida isolarmos L, temos

ϕ τ = J L c G J = L c G → ϕ τ = L c G → L = c G ϕ τ

L = 0,015 27 × 10 9 ( 34,907 × 10 - 3 )   50 × 10 6 = 283 × 10 - 3 m = 283   m m

Passo 4

c) Vamos ver entaõ qual a dimensão necessária de L pra última barra (base retangular):

a = 1,2 b ,   l o g o   a b = 1,2

Então, pela tabela 3.1 temos

c 1 = 0,219

c 2 = 0,1661

Trazendo a relação que encontramos no passo 1 para L

L = c 2 b G ϕ c 1 τ

L = ( 0,1661 ) ( 0,03 ) ( 27 × 10 9 ) ( 34,907 × 10 - 3 ) 0,219 50 × 10 6 = 429 × 10 - 3 = 429   m m

perfeitinho!

Resposta

a )   b = 382   m m  

b )   b = 283   m m

c )   b = 429   m m

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