Enunciado

O eixo vazado de aço mostrado ( G = 77   G P a , τ a d m = 50   M P a ) gira a 240   r p m . Determinar: (a) a máxima potência que pode ser transmitida; (b) o correspondente ângulo de torção do eixo.

Passo 1

a) Queremos a potência que está sendo transmitida nessa situação. Temos esses dados:

- velocidade de rotação: 240   r p m

- G = 77   G P a = 77 ⋅ 10 9   P a

- raio interno: c 1 = 12,5   m m = 0,0125   m

- raio externo: c 2 = 30   m m = 0,03   m

- comprimento do eixo: L = 5   m

- tensão admissível: τ a d m = 50   M P a = 50 ⋅ 10 6   P a

Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar arrumando a unidade dos nossos dados. Para transformar a velocidade em r p m para a frequência f em H z , usamos a relação:

1   r p m = 1 60   H z

Logo,

240   r p m = 4   H z

Passo 3

A gente consegue escrever uma relação entre a tensão admissível e o torque produzido nessa situação, pela expressão:

J c 2 = T τ a d m ∴ T = J τ a d m c 2

E conseguimos escrever a potência produzida por um torque T e uma frequência f pela expressão:

P = 2 T π f

Substituindo uma expressão na outra:

P = 2 J τ a d m c 2 π f = 2 J τ a d m π f c 2

Passo 4

Para um eixo vazado, temos que:

J = π 2 c 2 4 - c 1 4

Substituindo isso na nossa expressão para a potência:

P = 2 π 2 c 2 4 - c 1 4 τ a d m π f c 2 = c 2 4 - c 1 4 τ a d m π 2 f c 2

Agora a gente consegue substituir os dados do nosso problema:

P = 0,03 4 - 0,0125 4 ⋅ 50 ⋅ 10 6 ⋅ π 2 ⋅ 4 0,03

P = 51   689,48   W = 51,7   k W

Passo 5

b) Agora a gente quer achar o ângulo de torção produzido nessa situação. Para isso usamos:

ϕ = T L J G

Vamos lembrar que:

T = J τ a d m c 2

Substituindo isso na expressão do ângulo de torção:

ϕ = J τ a d m c 2 L J G = τ a d m L G c 2

Substituindo os dados do problema:

ϕ = 50 ⋅ 10 6 ⋅ 5 77 ⋅ 10 9 ⋅ 0,03 = 0,10822   r a d = 6,2 °

Lembrando que para passar de radianos para graus é só multiplicar por 180 / π .

Resposta

(a)   P = 51,7   k W

(b) ϕ = 6,2 °

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