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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 68

Um eixo maciço de aço ( G = 77   G P a ) de 2,3   m de comprimento transmite 15   h p a uma velocidade de 1500   r p m . Determinar o diâmetro necessário para o eixo, sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível é de 30   M P a e o ângulo de torção não deve exceder a 4 ° .

Passo 1

A gente tem dois critérios de projeto: a tensão máxima admissível é τ m á x = 30   M P a = 30 ⋅ 10 6   P a e o ângulo de torção deve ser menor que ϕ = 4 ° . Queremos o diâmetro necessário para essas condições.

Nossos dados são:

- velocidade de rotação: w = 1500   r p m

- potência transmitida: P = 1 5   h p

- temos um eixo maciço de comprimento L = 2,3   m

- G = 77   G P a

Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar arrumando a unidade dos nossos dados. Para transformar a velocidade em r p m para a frequência f em H z , usamos a relação:

1   r p m = 1 60   H z

Logo,

15 00   r p m = 25   H z

E para transformar a potência em h p para W , usamos a relação:

1   h p = 746   W

Logo,

1 5   h p = 11   190   W

Passo 3

Vamos achar o torque nesse eixo, pela relação:

P = 2 T π f ∴ T = P 2 π f

Substituindo os dados do nosso problema:

T = 1 119 0 2 ⋅ π ⋅ 2 5 = 71,23775   N ⋅ m

Passo 4

Para um eixo maciço, temos que:

J = π 2 c 4

A gente consegue escrever uma relação entre a tensão máxima, o torque produzido nessa situação e o raio do eixo, pela expressão:

J c = T τ m á x ∴ π 2 c 3 = T τ m á x ∴ c = 2 T π τ m á x 1 3

Substituindo nossos dados:

c = 2 T π τ m á x 1 3 = 2 ⋅ 71,23775   π ⋅ 3 0 ⋅ 10 6 1 3 = 0,0 1147   m

d 1 = 0,02 294   m = 23   m m

Beleza! Esse é o diâmetro que a gente achou por um critério de projeto, a tensão máxima admissível.

Passo 5

Precisamos testar o critério que falta: o ângulo de torção máximo.

ϕ = 4 ° = 4 ⋅ π 180   r a d = 0,06981   r a d

Para isso, vamos usar a relação:

ϕ = T L J G = T L π 2 c 4 G ∴ c = 2 T L ϕ π G 1 4

Substituindo nossos dados:

c = 2 ⋅ 71,23775 ⋅ 2,3 0,06981 ⋅ π ⋅ 77 ⋅ 10 9 1 4 = 0,01180   m

d 2 = 0,0236   m = 23,6   m m

Passo 6

Agora a gente precisa escolher o maior diâmetro entre os dois que achamos, isso porque nosso eixo não pode deixar de atender nenhum dos critérios. Quanto maior o diâmetro, mais resistente a estrutura.

Logo, nossa resposta é:

d 2 = 23,6   m m

Ufa! Conseguimos!

Resposta

d = 23,6   m m

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