Enunciado

Um eixo de acionamento de aço ( G = 77   G P a ) tem 2,4   m de comprimento e seus diâmetros externo e interno são, respectivamente, iguais a 63,5   m m e 57   m m . Sabendo-se que o eixo transmite 200   h p , a uma rotação de 1500   r p m , determinar: (a) a máxima tensão de cisalhamento; (b) o ângulo de torção do eixo.

Passo 1

a) Queremos a tensão máxima de cisalhamento nessa situação. Temos esses dados:

- velocidade de rotação:   1500   r p m

- G = 77   G P a = 77 ⋅ 10 9   P a

- diâmetro interno: d 1 = 57   m m , logo o raio interno é: c 1 = 57 2 m m = 0,0285   m

- diâmetro externo: d 2 = 63,5   m m , logo o raio externo é: c 2 = 63,5 2 m m = 0 , 03175   m

- comprimento do eixo: L = 2,4   m

- potência transmitida: P = 200   h p

Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar arrumando a unidade dos nossos dados. Para transformar a velocidade em r p m para a frequência f em H z , usamos a relação:

1   r p m = 1 60   H z

Logo,

150 0   r p m = 25   H z

E para transformar a potência em h p para W , usamos a relação:

1   h p = 746   W

Logo,

200   h p = 149   200   W

Passo 3

A gente consegue escrever uma relação entre a tensão máxima e o torque produzido nessa situação, pela expressão:

J c 2 = T τ m á x ∴ τ m á x = T c 2 J

E conseguimos escrever a potência produzida por um torque T e uma frequência f pela expressão:

P = 2 T π f ∴ T = P 2 π f

Substituindo uma expressão na outra:

τ m á x = P 2 π f c 2 J = P c 2 2 π f J

Passo 4

Para um eixo vazado, temos que:

J = π 2 c 2 4 - c 1 4

Substituindo isso na nossa expressão para a tensão máxima:

τ m á x = P c 2 2 π f π 2 c 2 4 - c 1 4 = P c 2 π 2 f c 2 4 - c 1 4

Agora a gente consegue substituir os dados do nosso problema:

τ m á x = 149   200 ⋅ 0,03175 π 2 ⋅ 25 ⋅ 0,03175 4 - 0,0285 4

τ m á x = 53,86   M P a

Passo 5

b) Agora a gente quer achar o ângulo de torção produzido nessa situação. Para isso usamos:

ϕ = T L J G

Vamos lembrar que:

J c 2 = T τ m á x ∴ T = J τ m á x c 2

Substituindo isso na expressão do ângulo de torção:

ϕ = J τ m á x c 2 L J G = τ m á x L G c 2

Substituindo os dados do problema:

ϕ = 53,86 ⋅ 10 6 ⋅ 2,4 77 ⋅ 10 9 ⋅ 0,03175 = 0 , 05287   r a d = 3,03 °

Lembrando que para passar de radianos para graus é só multiplicar por 180 / π .

Resposta

(a)   τ m á x = 53,86   M P a

(b) ϕ = 3,03 °

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