Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 97

Um componente de máquina é feito de um tipo de ferro fundido para o qual e . Para cada um dos estados de tensão indicados, e usando o critério de Mohr, determine a tensão normal na qual se espera que haja a ruptura do componente.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, nós vamos utilizar o critério de Mohr para materiais frágeis conforme visto na fig 7.38 nessa seção, onde temos o envoltório seguro, e se o ponto cair fora dele, quer dizer que temos ruptura. Para saber se o ponto está ou não dentro do envoltório, precisamos descobrir em qual quadrante o ponto se encontra. Lembrando que se ele cair no 4º quadrante, usaremos a seguinte relação:

Essa é a equação da reta no 4º quadrante da fig 7.38, em que é a tensão em um extremo do círculo de Mohr (tensão máxima) e é a tensão no outro extremo (tensão mínima). Então, se o valor encontrado nessa relação for maior que 1, quer dizer que o ponto está fora do envoltório e haverá ruptura, do contrário, a condição é segura.

Para calcular os , precisamos da tensão média e do raio do círculo de Mohr. Só que no nosso caso, vamos calcular isso em função da tensão para depois igualar seu valor ao caso limite e descobrir a tensão na qual se espera que haja ruptura do componente. Então vamos nessa!

Passo 2

Para a letra (a), vamos começar escrevendo as tensões que temos no elemento de tensão, onde temos:

Vamos começar escrevendo a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

Substituindo os valores conhecidos na equação do raio para o círculo de Mohr, chegamos em:

Agora vamos calcular a tensão média, que é dada por:

Agora, com os valores da tensão média e do raio do círculo, podemos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde temos:

Então, como os dois valores de são positivos, isso quer dizer que o ponto está no primeiro quadrante do envoltório. Isso quer dizer que o caso limite será a tensão limite de tração em , ou seja:

Passo 3

Para a letra (b), vamos começar escrevendo as tensões que temos no elemento de tensão, onde temos:

Vamos começar escrevendo a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

Substituindo os valores conhecidos na equação do raio para o círculo de Mohr, chegamos em:

Agora vamos calcular a tensão média, que é dada por:

Agora, com os valores da tensão média e do raio do círculo, podemos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde temos:

Então, como temos positivo e negativo, isso quer dizer que o ponto está no quarto quadrante do envoltório. Isso quer dizer que o caso limite será dado pela equação que vimos no passo 1:

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

Passo 4

Para a letra (c), vamos começar escrevendo as tensões que temos no elemento de tensão, onde temos:

Vamos começar escrevendo a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

Substituindo os valores conhecidos na equação do raio para o círculo de Mohr, chegamos em:

Agora vamos calcular a tensão média, que é dada por:

Agora, com os valores da tensão média e do raio do círculo, podemos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde temos:

Então, como temos positivo e negativo, isso quer dizer que o ponto está no quarto quadrante do envoltório. Isso quer dizer que o caso limite será dado pela equação que vimos no passo 1: