Enunciado

Considere o corpo composto mostrado na figura. Determine ( a ) o valor de x - quando h = L / 2 , ( b ) a razão h / L para a qual x - = L .

Passo 1

Vamos começar o exercício dividindo o corpo em duas partes, uma retangular e a outra sendo a pirâmide da ponta. Então, fazendo isso, chamando a parte retangular de 1 e pirâmide de 2 e organizando as informações geométricas na tabela a seguir, temos:

E, nós sabemos que podemos relacionar o centroide com o volume pela seguinte equação:

X - ∑ V = ∑ x - V

Então, substituindo os valores encontrados presentes na tabela:

X - a b L + 1 6 a b h = 1 2 a b L 2 + 1 6 a b h L + 1 4 h

Simplificando a expressão, temos:

X - 1 + h 6 L = L 6 3 + h L + h 2 4 L 2

Passo 2

Agora sim podemos resolver a letra ( a ) , então para h = L / 2 , temos:

X - 1 + h 6 L = L 6 3 + h L + h 2 4 L 2

X - 1 + 1 6 L L 2 = L 6 3 + 1 L L 2 + 1 4 L 2 L 2 2

Simplificando a expressão, temos:

X - 1 + 1 12 = L 6 3 + 1 2 + 1 16 → X - = 0,55 L

Passo 3

Agora, para a letra ( b ) , quando X - = L , temos:

X - 1 + h 6 L = L 6 3 + h L + h 2 4 L 2

L 1 + h 6 L = L 6 3 + h L + h 2 4 L 2

Simplificando a expressão, temos:

1 + h 6 L = 1 2 + h 6 L + h 2 2 4 L 2 → 1 2 = h 2 24 L 2

Então, a relação h / L será:

h L = 2 3

Resposta

X - = 0,55 L

h L = 2 3

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