Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 148
Determine o centroide do sólido obtido pela rotação da área sombreada da figura em torno do eixo .
Passo 1
Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer é perceber que, pela simetria da área sombreada, teremos e . Agora, como a rotação da área irá formar um parabolóide, vamos escolher um elemento diferencial de volume com área e espessura , então:
E, nesse caso, temos:
Nesse caso, chamando na equação fornecida no enunciado, temos:
E, substituindo esse valor para , temos:
Passo 2
Agora integrando a expressão anterior para o volume, temos:
Resolvendo as integrais, temos:
Substituindo os limites de integração, temos:
Simplificando a expressão, temos:
Agora, como nós sabemos que podemos relacionar o centroide de um sólido com seu volume através da seguinte equação:
Passo 3
Olhando a última equação do passo 2, nós já temos o volume, então precisamos calcular o valor da integral do lado direito da equação, então substituindo os valores de e encontrados no passo 1, temos:
Reescrevendo a integral, temos:
Resolvendo a integral, temos:
Substituindo os limites de integração, temos:
E, simplificando a expressão, temos:
Agora, substituindo os valores encontrados na última equação do passo 2, temos:
Isolando e resolvendo: