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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 5

Demonstre por expansão direta que λ 2 = 1 . Para fins de simplicidade, considere λ como sendo uma matriz de transformação ortogonal bidimensional.

Passo 1

E aeww galera, vamos pra mais uma resolução!?

Primeiro temos que escrever a matriz de transformação bidimensional:

λ = λ 1 1 λ 12 λ 21 λ 22

λ = λ 1 1 λ 22 - λ 12 λ 21

λ 2 = λ 1 1 λ 22 - λ 12 λ 21 2 = λ 1 1 2 λ 22 2 + λ 12 λ 21 2 - 2 λ 1 1 λ 22 λ 1 2 λ 2 1

Passo 2

Vamos agora, somar e subtrais do lado esquerdo o termo: λ 1 1 2 λ 21 2 + λ 1 2 2 λ 22 2 , ficamos com:

λ 2 = λ 1 1 2 λ 22 2 + λ 12 λ 21 2 - 2 λ 1 1 λ 22 λ 1 2 λ 21 + λ 1 1 2 λ 21 2 + λ 1 2 2 λ 22 2 - λ 1 1 2 λ 21 2 + λ 1 2 2 λ 22 2

λ 22 2 λ 1 1 2 + λ 1 2 2 + λ 21 2 λ 1 1 2 + λ 12 2 - λ 1 1 2 λ 21 2 + 2 λ 1 1 2 λ 22 2 λ 1 2 2 λ 21 2 + λ 1 2 2 λ 22 2

λ 1 1 2 + λ 12 2 λ 22 2 + λ 21 2 - λ 1 1 2 λ 21 2 + λ 1 2 2 λ 22 2 2

Mas sabemos que:

λ 1 1 2 + λ 12 2 = λ 22 2 + λ 21 2 = 1

λ 1 1 2 λ 21 2 + λ 1 2 2 λ 22 2

O que implica que

λ 2 = 1

Resposta

Demonstração