Enunciado

Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga carregada e encontre a magnitude máxima M do momento fletor.

Passo 1

Antes de podermos determinar a força de cisalhamento e o momento de flexão atuando, precisaremos determinar as forças de reação a partir do diagrama de corpo livre

Observe que substituímos a carga distribuída pelas forças resultantes R

R = P l ⋅ l = P

Vamos determinar as forças de reação a partir de equações de equilíbrio

∑ M A = 0

P ⋅ l 2 + P ⋅ 2 l - Y B ⋅ 3 l = 0 5 2 P l - Y B ⋅ 3 l = 0 Y B = 5 6 P

∑ F x = 0

X A = 0

∑ F y = 0

Y A + Y B - 2 P = 0 Y A + 5 6 P - 2 P = 0 Y A = 7 6 P

Passo 2

0 ≤ x ≤ 1

Em seguida, vamos cortar e analisar a parte do feixe ao longo do intervalo [0≤x≤l]

A magnitude da resultante da carga distribuída é:

R ( x ) = P l ⋅ x

Aplique as equações de equilíbrio no diagrama de corpo livre para determinar a força de cisalhamento V e o momento fletor M. Observe que tanto V quanto M têm direção positiva (sentido)

∑ F y = 0

Y A - R ( x ) - V = 0 7 6 P - P l ⋅ x - V = 0 V 0 ÷ 1 = 7 6 P - P l ⋅ x

∑ M = 0

Y A ⋅ x - R ( x ) ⋅ x 2 - M = 0 7 6 P ⋅ x - P l ⋅ x ⋅ x 2 - M = 0 M 0 ÷ 1 = - P 21 x 2 + 7 P 6 x

O diagrama da força cortante está diminuindo linearmente enquanto o momento fletor está aumentando não linearmente, seus valores em x = l são:

V x = l = 7 6 P - P l ⋅ l = 1 6 P M x = l = - P 2 l l 2 + 7 P 6 l = 2 3 P l

Passo 3

[ l ≤ x ≤ 2 l ]

Em seguida, vamos cortar e analisar a parte do feixe ao longo do intervalo [l≤x≤2l]

Aplique as equações de equilíbrio no diagrama de corpo livre para determinar a força de cisalhamento V e o momento fletor M. Observe que tanto V quanto M têm direção positiva (sentido)

∑ F y = 0

Y A - R - V = 0 7 6 P - P - V = 0 V 1 ÷ 21 = 1 6 P -   força de cisalhamento constante

∑ M = 0

Y A ⋅ x - P ⋅ x - l 2 - M = 0 7 6 P ⋅ x - P x + P l 2 - M = 0 M 1 ÷ 21 = 1 6 P x - P l 2

O diagrama de momento está aumentando linearmente e seu valor em x = 3l / 4 é:

M x = 3 l / 4 = 3 4 P ⋅ 3 l 4 - P l 4 = 5 P l 16

Passo 4

Por inspeção, podemos ver que não há forças agindo na faixa [l≤x≤2l], o que significa que o diagrama de força de cisalhamento terá um salto negativo em x = 2l causado pela força P agindo naquele ponto, após o qual será constante até atingir o fim, momento em que terá um salto positivo causado pela força de reação em B.

Faremos um gráfico das funções de força de cisalhamento para obter a força de cisalhamento

Pela inspeção, podemos ver que não há forças agindo no intervalo [l≤x≤2l], o que significa que o diagrama do momento fletor será linearmente decrescente até chegar a zero no final da viga.

Vamos representar graficamente a função do momento fletor para obter o diagrama do momento fletor

Ao analisar o diagrama, podemos ver que o momento fletor máximo é:

M m a x = 5 P l 6  em  x = 2 l

Resposta

M m a x = 5 P l 6  em  x = 2 l

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