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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 117

Determinar a localização do centro de cisalhamento O da viga de parede fina com a seção transversal mostrada.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar a localização do centro de cisalhamento O da viga de parede fina.

Para calcular isto, vamos integrar o fluxo de cisalhamento sobre a viga para determinar a forças internas. Após isto, vamos fazer o cálculo do momento equivalente para determinar distância e .

Vamos determinar e apenas trabalhando com aba direita menor.

Passo 2

Começando com o cálculo do momento de inércia.

Possuímos retângulos e não consideremos o momento de inércia da viga central. Pois, o momento de inércia deste retângulo com relação ao eixo é muito pequeno para ser considerado.

Por definição temos o momento de inércia:

I = 1 12 t 1 h 1 3 + 1 12 t 2 h 2 3

Passo 3

Vamos determinar a força na aba menor.

F 2 = ∫ τ d A

Em que a tensão cisalhante média é:

τ = V Q I t 2

Temos que determinar nosso momento estático para dar continuidade, sobre a força cisalhante fique tranquilo que ira ser simplificada.

Determinando o momento estático:

Q = A ∙ y ¯

Precisamos determinar a área da aba:

A = 1 2 h 2 - y ∙ t 2

Determinando o centroide da nossa aba:

y ¯ = 1 2 h 2 + y ∙ 1 2

Efetuando a multiplicação:

Q = 1 2 h 2 - y 1 2 h 2 + y ∙ 1 2 ∙ t 2

Q = 1 4 h 2 2 - y 2 1 2 ∙ t 2

Passo 4

Agora que temos o momento de inércia estático, podemos determinar F 2 :

Para determinar F 2 , vamos deixar claro nossa tensão cisalhante.

τ = V Q I t 2

Substituindo o momento estático:

τ = V I t 2 1 4 h 2 2 - y 2 1 2 ∙ t 2

Temos que F 2 é definido por:

F 2 = ∫ τ d A

F 2 = ∫ V I t 2 1 4 h 2 2 - y 2 1 2 ∙ t 2 d A

Simplificando t 2 e inserindo os limites de integração para a variável d y

d A d y = 1 2 h 2 - y ∙ t 2

d A = 1 2 h 2 ∙ t 2 - y t 2 d y  

d A = - t 2   d y

Vamos considerar o meio da viga h 2 2 como coordenada zero, logo, teremos F 2 indo de - h 2 2 até + h 2 2

Substituindo na integral:

F 2 = ∫ - h 2 / 2 h 2 2 - t 2 V I 1 4 h 2 2 - y 2 1 2   d y

F 2 = - V t 2 2 I ∙ 1 4 h 2 2 y - y 4 3 - h 2 2 h 2 2

Aplicando os limites de integração:

F 2 = - V t 2 2 I ∙ 1 4 h 2 2 ∙ h 2 2 - h 2 2 3 3     + 1 4 h 2 2 ∙ h 2 2 + - h 2 2 3 3    

F 2 = - V t 2 2 I ∙ h 2 3 8 - h 2 3 24     + h 2 3 8 - h 2 3 24      

F 2 = - V t 2 2 I ∙ 2 h 2 3 24     + 2 h 2 3 24      

F 2 = - V t 2 2 I ∙ 4 h 2 3 24

F 2 = - V t 2 I ∙ h 2 3 12

Por final, vamos substituir o momento de inércia:

F 2 = - V t 2 ∙ h 2 3 t 1 h 1 3 + t 2 h 2 3

Passo 5

Como temos F 2 podemos executar o cálculo do momento equivalente para determinara distância e .

Considerando sentido anti-horário positivo.

∑ M O = 0

- V e + F 2 ∙ b = 0

- V e + - V t 2 ∙ h 2 3 t 1 h 1 3 + t 2 h 2 3 ∙ b = 0

Simplificando V e isolando e :

e = - t 2 ∙ h 2 3 t 1 h 1 3 + t 2 h 2 3 ∙ b

Resposta

e = - t 2 ∙ h 2 3 t 1 h 1 3 + t 2 h 2 3 ∙ b

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