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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 91d

Determinar a reação em A e desenhar o diagrama de momento fletor para a viga com o carregamento mostrado.

Obs: determinação da reação em A para o caso 4

Passo 1

Agora temos que tomar o seguinte cuidado, sabemos que temos 3 casos de vigas, e para cada um dos casos determinamos os ângulos nos seus apoios, e assim obtivemos o seguinte:

  • Caso 1

    • θ A = P a b 6 E I a + b ( a + 2 b )

    θ B = P a b 6 E I a + b ( 2 a + b )

  • Caso 2

    • θ A = M A ( a + b ) 3 E I

    θ B = M A ( a + b ) 6 E I

  • Caso 3

θ A = M B ( a + b ) 6 E I

θ B = M B ( a + b ) 3 E I

Com isso em mãos, precisamos lembrar o seguinte, cada apoia é um engaste, logo, a soma dos ângulos em cada apoio representa esse engaste, ou seja, essa soma tem que dar zero, assim podemos dizer que:

θ A ( c a s o 1 ) + θ A ( c a s o 2 ) + θ A ( c a s o 3 ) = 0

θ B ( c a s o 1 ) + θ B ( c a s o 2 ) + θ B ( c a s o 3 ) = 0

Assim obtém-se o seguinte sistema:

P a b 6 E I a + b ( a + 2 b ) + M A ( a + b ) 3 E I + M B ( a + b ) 6 E I = 0

P a b 6 E I a + b ( 2 a + b ) + M A ( a + b ) 6 E I + M B ( a + b ) 3 E I = 0

Isolando M B , obtém-se que:

M B ( a + b ) 6 E I = - P a b a + 2 b 6 E I a + b - M A ( a + b ) 3 E I

Na segundo equação, multiplicando M B em cima e embaixo por 2, obtém-se que:

P a b 6 E I a + b ( 2 a + b ) + M A ( a + b ) 6 E I + 2 M B ( a + b ) 6 E I = 0

Substituindo

P a b 2 a + b 6 E I a + b + M A ( a + b ) 6 E I - 2 P a b a + 2 b 6 E I a + b - 2 M A ( a + b ) 3 E I = 0

M A ( a + b ) 6 E I - 4 M A a + b 6 E I = 2 P a b a + 2 b 6 E I a + b - P a b 2 a + b 6 E I a + b

- M A a + b 2 E I = 2 P a b a + 2 b - P a b 2 a + b 6 E I a + b

M A = - 4 P a b a + 2 b - 2 P a b 2 a + b 6 a + b 2

Simplificando:

M A = - 4 P a 2 b + 8 P a b 2 - 4 P a 2 b - 2 P a b 2 6 a + b 2

M A = - P a b 2 a + b 2

Desse modo:

M B ( a + b ) 6 E I = - P a b a + 2 b 6 E I a + b - M A ( a + b ) 3 E I

M B ( a + b ) 6 = - P a b a + 2 b 6 a + b - a + b 3 - P a b 2 a + b 2

M B ( a + b ) 6 = - P a b a + 2 b 6 a + b + P a b 2 3 ( a + b )

M B ( a + b ) 6 = - P a 2 b + 2 P a b 2 6 a + b + 2 P a b 2 6 ( a + b )

Simplificando:

M B ( a + b ) 6 = - P a 2 b - 2 P a b 2 + 2 P a b 2 6 a + b

M B = - P a 2 b a + b 2

Passo 2

Como descobrimos os momentos, podemos determinar a reação de apoio vertical, lembrando que como os momentos nas extremidades das vigas deram negativos, vamos inverte-los com o intuito de usar valores positivos no nosso problema.

∑ M B = 0

P a b 2 a + b 2 - P a 2 b a + b 2 - V A a + b + P b = 0

- V A a + b = - P a b 2 + P a 2 b a + b 2 - P b

V A a + b = P a b ( - b + a ) a + b 2 - P b

V A = P a b ( b - a ) a + b 3 + P b a + b

Resposta

V A = P a b ( b - a ) a + b 3 + P b a + b

M A = - P a b 2 a + b 2

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