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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 44

Determine a equação da linha elástica. Especifique a inclinação em A e B. EI é constante

Passo 1

Como sempre, vamos começar calculando as reações de apoio:

∑ M A = 0 ⇒ - w ⋅ a ⋅ a 2 + R B ⋅ 2 a = 0

R B = w a 4

∑ F Y = 0 ⇒ R A - w a + w a 4 = 0

R A = 3 w a 4

Passo 2

Para que possamos aplicar as equações de descontinuidade nesta viga, precisamos que o carregamento se estenda até o final da viga. Fazemos isso complementando o carregamento em cima, e aplicando um carregamento igual em sentido inverso para compensar:

Passo 3

Vamos utilizar o carregamento equivalente e a tabela 12.2 para gerar nossa equação de momento fletor:

M x = 3 w a 4 < x - 0 > 1 - w 2 < x - 0 > 2 + w 2 < x - a > 2 + w a 4 < x - 2 a > 1

Perceba o seguinte, a expressão w a 4 < x - 2 a > 1 será sempre igual a zero, pois se encontra no final da viga. Podemos então simplificar a equação do momento fletor para:

M x = 3 w a 4 x - w 2 x 2 + w 2 < x - a > 2

Passo 4

Vamos integrar a equação do momento fletor para obter a equação da inclinação:

E I ⋅ θ = ∫ M ( x ) d x

E I ⋅ θ = ∫ 3 w a 4 x - w 2 x 2 + w 2 < x - a > 2 d x

E I ⋅ θ = 3 w a 8 x 2 - w 6 x 3 + w 3 < x - a > 6 + c 1

A equação da inclinação é:

E I ⋅ θ = - w 6 x 3 + w 6 < x - a > 3 + 3 w a 8 x 2 + c 1

Passo 5

Vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da linha elástica:

E I ⋅ v = ∫ θ ⋅ d x

E I ⋅ v = ∫ - w 6 x 3 + w 6 < x - a > 3 + 3 w a 8 x 2 + c 1 ⋅ d x

E I ⋅ v = - w 24 x 4 + w 24 < x - a > 4 + w a 8 x 3 + c 1 x + c 2

Passo 6

Pela condição de contorno no ponto A:

x A = 0

v A = 0

Aplicando na equação da linha elástica:

E I ⋅ 0 = - w 24 0 4 + w 24 < 0 > 4 + w a 8 0 3 + c 1 ⋅ 0 + c 2

c 2 = 0

Passo 7

Pela condição de contorno no ponto B:

x A = 2 a

v A = 0

Aplicando na equação da linha elástica:

E I ⋅ 0 = - w 24 2 a 4 + w 24 < a > 4 + w a 8 2 a 3 + c 1 ⋅ 2 a

c 1 = - 3 w a 3 16

Passo 8

Aplicando as constantes temos as seguintes equações:

E I ⋅ θ = - w 6 x 3 + w 6 < x - a > 3 + 3 w a 8 x 2 - 3 w a 3 16

E I ⋅ v = - w 24 x 4 + w 24 < x - a > 4 + w a 8 x 3 - 3 w a 3 16 x

Passo 9

Inclinação no ponto A:

E I ⋅ θ A = - w 6 x A 3 + w 6 < x A - a > 3 + 3 w a 8 x A 2 - 3 w a 3 16

Sabemos que o no ponto A x A = 0

θ A   = - 1 E I 3 w a 3 16

Passo 10

Inclinação no ponto B:

E I ⋅ θ B = - w 6 x B 3 + w 6 < x B - a > 3 + 3 w a 8 x B 2 - 3 w a 3 16

Sabemos que o no ponto A x A = 2 a

E I ⋅ θ B = - 8 a 3 w 6 + a 3 w 6 + 12 w a 3 8 - 3 w a 3 16

θ B   = - 1 E I 7 w a 3 48

Resposta

θ A   = - 1 E I 3 w a 3 16

θ B   = - 1 E I 7 w a 3 48

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