Enunciado

Determine o deslocamento em C e a inclinação em A da viga

Passo 1

Vamos começar calculando as reações de apoio

∑ M B = 0 ⇒ 150 ⋅ 2 ⋅ 4 - 3 R A + 150 ⋅ 3 2 ⋅ 3 2 3 = 0

R A = 550   k N

∑ F Y = 0 ⇒ - 150 ⋅ 2 + R A - 150 ⋅ 3 2 + R B = 0

R B = - 25   k N

Passo 2

Para que a gente possa utilizar as funções de descontinuidade precisamos que o carregamento contínuo se estenda até o fim da viga. Pode parecer que temos um carregamento contínua em toda a viga, mas se você olhar a tabela 12.2 não verá nenhum carregamento semelhante a este.

Acontece que o que temos nesta viga são dois carregamentos: um carregamento retangular que NÃO chega ao fim da viga. E um carregamento triangular que chega ao fim da viga.

Para que possamos aplicar a tabela 12.2 e as equação de descontinuidade vamos trablhar com a seguinte viga equivalente:

Daqui já definimos a inclinação deste carregamento triangular como:

i n c l i n a ç ã o = w L

i n c l i n a ç ã o = 150   k N / m 3   m

Passo 3

Pronto, podemos aplicar a tabela 12.2 para gerar uma equação de descontinuidade para o momento fletor.

M x = - 150 2 < x - 0 > 2 + 550 < x - 2 > + 150 6 ⋅ 3 < x - 2 > 3 - 25 < x - 5 >

Vamos simplificar as frações. Também sabemos que forças pontuais na extremidade final podem ser ignoradas e que < x - 0 > n = x n , desde que n > 0

M x = - 75 x 2 + 550 < x - 2 > + 25 3 < x - 2 > 3

Passo 4

Vamos integrar uma vez para ter a equação da inclinação:

E I ⋅ θ = ∫ M x d x

E I ⋅ θ = ∫ - 75 x 2 + 550 < x - 2 > + 25 3 < x - 2 > 3 d x

E I ⋅ θ = - 25 x 3 + 275 < x - 2 > 2 + 25 12 < x - 2 > 4 + c 1

Passo 5

Vamos integrar mais uma vez para ter a equação da linha neutra:

E I ⋅ v = ∫ θ x d x

E I ⋅ v = ∫ - 25 x 3 + 275 < x - 2 > 2 + 25 12 < x - 2 > 4 + c 1 d x

E I ⋅ v =   - 25 4 x 4 + 275 3 < x - 2 > 3 + 5 12 < x - 2 > 5 + c 1 x + c 2

Passo 6

Vamos aplicar as condições de contorno para calcular as constantes.

No ponto A temos um apoio. As condições do ponto A são:

x A = 2 m

v A = 0

Aplicando isso na equação da linha elástica:

E I ⋅ v A =   - 25 x A 4 4 + 275 3 < x A - 2 > 3 + 5 12 < x A - 2 > 5 + c 1 x A + c 2

0 =   - 25 ⋅ 2 4 4 + 2 c 1 + c 2

2 c 1 + c 2 = 100

Passo 7

No ponto B temos um pino. As condições do ponto B são:

x A = 5   m

v A = 0

Aplicando isso na equação da linha elástica:

E I ⋅ v B =   - 25 x B 4 4 + 275 3 < x B - 2 > 3 + 5 4 < x B - 2 > 5 + c 1 x B + c 2

0 =   - 25 ⋅ 5 4 4 + 275 3 3 3 + 5 12 3 5 + 5 c 1 + c 2

5 c 1 + c 2 = 1330

Passo 8

Agora vamos solucionar o sistema linear gerado pelas constantes:

2 c 1 + c 2 = 100

5 c 1 + c 2 = 1330

Se subtraírmos a primeira da seguda:

3 c 1 = 1330 - 100

c 1 = 410   k N ⋅ m 2

Aplicando então este valor na primeira equação:

c 2 = - 720   k N   m 3

Passo 9

Deslocamento em C:

x c = 0

Aplicando na equação da linha elástica:

E I ⋅ v C =   - 25 4 x C 4 + 275 3 < x C - 2 > 3 + 5 12 < x C - 2 > 5 + 410 x C - 720

E I ⋅ v C =   - 25 4 ⋅ 0 + 275 3 ⋅ 0 + 5 12 ⋅ 0 + 410 ⋅ 0 - 720

v C =   - 720 ⋅ 1 E I

Passo 10

A inclinação do ponto A:

x A = 2   m

Aplicando na equação da inclinação:

E I ⋅ θ A = - 25 x A 3 + 275 < x A - 2 > 2 + 25 12 < x A - 2 > 4 + 410

E I ⋅ θ A = - 25 ⋅ 2 3 + 410

θ A = 2 10 ⋅ 1 E I

Resposta

v C =   - 720 ⋅ 1 E I

θ A = 2 10 ⋅ 1 E I

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