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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 21

Determine as equações da linha elástica utilizando as coordenadas x 1 e x 3 e especifique a inclinação e a deflexão no ponto B . E I é constante.

Passo 1

Faaaaala aí! O que ele quer aqui é que a gente use dois sistemas de referência diferentes para achar v x . Um com origem na ponta esquerda da viga ( x 1 ) e um com origem na ponta direita ( x 3 ).

Aí a gente usa que

E I d 2 v d x 2 = M x

Acha o momento, integra duas vezes e acha v x para esses dois casos.

Antes de tudo, a gente só precisa especificar as reações dessa viga. Colocando as reações M A e F A no engaste:

∑ F y = 0 ∴ F A = w a

∑ M A = 0 ∴ M A = w a 2 2

Agora sim. Bora!

Passo 2

Vamos achar a função momento para o intervalo 0 ≤ x 1 ≤ a :

Repara que é mais fácil achar o momento nesse intervalo olhando só para parte esquerda da viga, ao cortar ela numa seção dentro do nosso intervalo, e esquecendo a direita. Então ajuda se a gente usar o sistema x 1 , beleza?

∑ M = 0 M x 1 + w a 2 x 1 2 - w a x 1 + w a 2 2 = 0 M x 1 = - w a 2 x 1 2 + w a x 1 - w a 2 2

Sabemos que:

E I d 2 v 1 d x 1 ² = M x

Logo:

E I d 2 v 1 d x 1 2 = - w a 2 x 1 2 + w a x 1 - w a 2 2

E I d v 1 d x 1 = - w 6 x 1 3 + w a 2 x 1 2 - w a 2 2 x 1 +   C 1

E I v 1 = - w 24 x 1 4 + w a 6 x 1 3 - w a 2 4 x 1 2 +   C 1 x 1 + C 2

Passo 3

Aí como o enunciado pediu para usar os dois, para a outra parte da viga, usamos x 3 .

Será o mesmo processo aqui, só que para 0 ≤ x 3 ≤ L - a :

∑ M = 0 M x 3 = 0

Logo:

E I d 2 v 3 d x 3 2 = 0

E I d v 3 d x 3 = C 3

E I v 3 = C 3 x 3 + C 4

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno e continuidade. Nelas a gente retrata que o deslocamento e a inclinação no apoio são nulos. E há continuidade tanto de v quando de v ' no ponto a carga uniforme termina.

As condições de contorno serão:

x 1 = 0 → v 1 = 0 e d v 1 d x 1 = 0

Já as condições de continuidade serão:

x 1 = a ,   x 3 = L - a → v 1 = v 3   e     d v 1 d x 1 = - d v 3 d x 3

Esse sinal de menos na igualdade é porque nossos referenciais tem sentidos opostos, o que infuencia em sinais opostos de inclinação.

Logo, substituindo:

E I v 1 = - w 24 x 1 4 + w a 6 x 1 3 - w a 2 4 x 1 2 +   C 1 x 1 + C 2 → 0 = 0 +   0 + C 2 → C 2 = 0

E I d v 1 d x 1 = - w 6 x 1 3 + w a 2 x 1 2 - w a 2 2 x 1 +   C 1 → 0 = 0 +   C 1 → C 1 = 0

d v 1 d x 1 = - d v 3 d x 3 → = - w 6 a 3 + w a 2 a 2 - w a 2 2 a = - C 3 → C 3 = - w a 3 6

v 1 = v 3 → - w 24 a 4 + w a 6 a 3 - w a 2 4 a 2 = - w a 3 6 ( L - a ) + C 4

C 4 = w a 4 24 - w a 3 L 6

Passo 5

Para as equações da linha elástica, temos:

v 1 = w x 1 2 24 E I - x 1   4 + 4 a x 1 - 6 a 2

E para v 2 :

v 3 = w a 3 24 E I ( - 4 x 3 + a - 4 L )

Já a inclinação em B , ocorre em x 3 = 0 :

E I θ 3 = - w a 3 6

θ B = - w a 3 6 E I

Quanto à deflexão em B, temos x 3 = 0 :

v B = w a 3 24 E I ( a - 4 L )

Resposta

v 1 = w x 1 2 24 E I - x 1   4 + 4 a x 1 - 6 a 2

v 2 = w a 3 24 E I ( - 4 x 3 + a - 4 L )

θ B = - w a 3 6 E I

v B = w a 3 24 E I ( a - 4 L )

v c = - P L 3 6 E I

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