Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 5

Determine as equações da linha elástica utilizando as coordenadas x1 e x2. EI é constante.

Passo 1

Faaaaala aí! O que ele quer aqui é que a gente use dois sistemas de referência diferentes para achar v x . Um com origem na ponta esquerda da viga ( x 1 ) e um com origem na ponta direita ( x 2 ).

Aí a gente usa que

E I d 2 v d x 2 = M x

Acha o momento, integra duas vezes e acha v x para esses dois casos.

Antes de tudo, a gente só precisa especificar as reações dessa viga. Dá para fazer pelas equações de equilíbrio, ou no olho mesmo. Fica assim:

Agora sim. Bora!

Passo 2

Vamos achar a função momento para o intervalo 0 ≤ x 1 ≤ a :

Repara que é mais fácil achar o momento nesse intervalo olhando só para parte esquerda da viga, ao cortar ela numa seção dentro do nosso intervalo, e esquecendo a direita. Então ajuda se a gente usar o sistema x 1 , beleza?

M x 1 = 0

Sabemos que:

E I d 2 v 1 d x 1 2 = M x 1

E I d 2 v 1 d x 1 2 = 0

E então, vamos integrar duas vezes a função momento:

E I d v 1 d x 1 = C 1

E I v 1 = C 1 x 1 + C 2

Passo 3

Aí como o enunciado pediu para usar os dois, para a outra parte da viga, usamos x 2 .

Será o mesmo processo aqui, só que para 0 ≤ x 2 ≤ L - a :

E I d v 2 2 d x 2 2 = M x 2 = P x 2 - P L - a

E I d v 2 d x 2 = P x 2 2 2 - P L - a x 2 + C 3

E I v 2 = P 6 x 2 ³ - P 2 L - a x 2 ² + C 3 x 2 + C 4

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno. Nelas a gente retrata que o deslocamento e a inclinação no apoio são nulos. E há continuidade tanto de v quando de v ' no ponto onde P é aplicado.

Começando pelo deslocamento e inclinação no apoio sendo nulo, teremos:

x 2 = 0 → v 2 = 0   e d v 2 d x 2 = 0

Aplicando na equação da inclinação, teremos:

E I ( 0 ) = P ( 0 ) 2 2 - P L - a ( 0 ) + C 3

C 3 = 0

E teremos na equação do deslocamento:

E I 0 = P 6 0 ³ - P 2 L - a 0 ² + C 3 ( 0 ) + C 4

C 4 = 0

Agora para as condições de continuidade, no ponto P .

x 1 = a   ; x 2 = L - a

Igualando a inclinação:

d v 1 d x 1 = - d v 2 d x 2

C 1 E I = - P ( L - a ) 2 2 - P L - a ( L - a ) + 0 E I

C 1 = - P L - a 2 2 + P L - a 2

C 1 = P L - a 2 2

Igualando o deslocamento:

v 1 = v 2

P L - a 2 2 a + C 2 E I = P 6 L - a 3 - P 2 L - a L - a 2 + 0 + 0 E I

P a L - a 2 2 + C 2 = P 6 L - a 3 - P 2 L - a 3

C 2 = - P 3 L - a 3 - P a L - a 2 2

Portanto, as constantes serão:

C 1 = P L - a 2 2 ; C 2 = - P a L - a 2 2 - P L - a 3 3 ; C 3 = C 4 = 0

Passo 5

Logo, teremos:

v 1 = P 6 E I 3 L - a 2 x 1 - 3 a L - a 2 - 2 L - a 3

v 2 = P 6 E I ( x 2 3 - 3 L - a x 2 2 )

Resposta

v 1 = P 6 E I - 3 L - a 2 x 1 + 3 a L - a 2 - 2 L - a 3

v 2 = P 6 E I ( x 2 3 - 3 L - a x 2 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados na figura e determine o valor máximo absoluto (a) da força cortante e (b) do momento fletor.
Usando o método da Seção 5.2 , resolva o Problema 5 . 15 .Para a viga e o carregamento mostrados, determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor na seção transversal C .
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, projete a seção transversal da viga sabendo que o tipo da madeira utilizada tem uma tensão normal admissível de 12M P a .
Determine ( a ) as equações das curvas de força cortante e momento fletor para a viga e o carregamento mostrados na figura e ( b ) o valor máximo absoluto do momento fletor na viga.
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e carregamento mostrados e, determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor.