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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 29

29. O tubo de aço A - 36 tem diâmetro externo de   50   m m e espessura de 12   m m . Se for mantido no lugar por um cabo de ancoragem, determine a maior força vertical P que pode ser aplicada sem provocar flambagem no tubo. Considere que as extremidades do tubo estão acopladas por pinos.

Passo 1

Primeiro, vamos montar o diagrama de forças para o ponto B :

E fazer o somatório de momentos:

↶ + ∑ M A = 0 → 4,2   m × P - F B C s e n 30 ° × 4,2   m = 0

F B C = 4,2   m × P 4,2   m × s e n ( 30 ° )

F B C = 2 P

Temos também que:

P c r = F B C ⋅ c o s ⁡ ( 30 ° )

Porque F B C é a força que age na haste

P c r = 2 P ⋅ 3 2

∴ P c r = 2 P

Passo 2

Agora, vamos calcular a força crítica P c r que a haste suporta:

P c r = π 2 E I ( k L ) 2

Como as extremidades estão presas por pinos, temos k = 1 .

O momento de inércia de uma seção circular, é dado pela fórmula:

I = π 4 r 4

Mas a haste tem um furo no meio, então, a gente precisa achar o valor do raio interno:

r i = r e - e

Onde r i é o raio interno, r e é o raio externo e e é a espessura do tubo:

r i = 0,025 - 0,012 = 0,013   m

A nova fórmula de momento de inércia será, portanto:

I = π 4 ( r e 4 - r i 4 )

E temos, também, por ser dado no enunciado que é um aço A - 36 :

E = 200 × 10 9   P a

P c r = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 0,025 4 - 0,013 4   m 4 ) ( 1 × 4,2   m ) 2

P c r = F A B = 3 P

3 P = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 0,025 4 - 0,013 4   m 4 ) ( 1 × 4,2   m ) 2

P = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 0,025 4 - 0,013 4   m 4 ) ( 1 × 4,2   m ) 2 × 3

∴ P = 18,37   k N

Passo 3

Vamos calcular a tensão devido à força crítica σ c r para verificar se ele ultrapassa a tensão de escoamento σ e :

σ c r = P c r A

σ c r = 3 × 1,16   k N π × ( 0,025 2 - 0,013 2 )   m 2

∴ σ c r = 22,2   M P a

σ c r = 22,2   M P a < σ e = 250   M P a

Como σ c r < σ e , a carga crítica é admissível elemento.

Resposta

A carga máxima suportada para que não haja flambagem na haste é:

P = 18,37   k N

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