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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 7ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 20

Determine a força F que a pessoa deve aplicar, tangente ao aro da roda de uma cadeira de rodas, para subir uma rampa inclinada de ângulo θ . A massa combinada da cadeira e da pessoa é m . (Se s é o deslocamento do centro da roda medido ao longo do plano inclinado e β é o ângulo correspondente, em radianos, que a roda gira, pode-se facilmente mostrar que s = R β se a roda gira sem escorregar.)

Passo 1

Utilizando o Princípio do Trabalho Virtual, se o sistema está em equilíbrio o trabalho virtual δ U total realizado pelas forças externas ativas para um deslocamento pequeno do sistema deve ser zero:

δ U = 0

Os nossos agentes externos ativos (que realizam trabalho em um deslocamento do sistema) são o peso m g do homem e da cadeira e o atrito que atua na roda, feito pelo chão. A força normal não realiza trabalho, por ser perpendicular ao movimento. Vamos relacionar o trabalho infinitesimal realizado pelas forças para um giro pequeno δ β da roda, e então aplicar o princípio.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o trabalho δ U 1 feito pela força de atrito na roda. No limiar do giro da roda (ainda no equilíbrio), o homem causa um momento em torno do centro da roda dado por M = F r , pois o raio do aro é r . Pelo equilíbrio da roda, o momento causado pelo atrito do chão deve ter o mesmo módulo. Durante um giro δ β da roda, a força de atrito realiza um então um trabalho:

δ U 1 = M δ β = F r   δ β

O valor é positivo pois o momento causado pelo atrito é no sentido horário, assim como o giro da roda.

Passo 3

Agora calculamos o momento δ U 2 realizado pela força peso do sistema homem-cadeira. Para um giro δ β da roda, a cadeira irá se deslocar no plano uma distância δ s = R   δ β . Então sua variação de altura será:

δ y = δ s sen ⁡ θ = R sen ⁡ θ δ β

O trabalho realizado pelo peso m g quando levanta-se a massa de uma altura δ y é:

δ U 2 = - m g   δ y

O valor é negativo pois o desolcamento é para cima e a força para baixo. Então:

δ U 2 = - m g R sen ⁡ θ δ β

Passo 4

Pelo Princípio do Trabalho Virtual, temos então:

δ U = δ U 1 + δ U 2 = 0

⇒ F r   δ β - m g R sen ⁡ θ δ β = 0

⇒ F r   δ β = m g R sen ⁡ θ δ β

Cortando δ β , chegamos ao valor de F :

F = m g R r sen ⁡ θ

Resposta

F = m g R r sen ⁡ θ

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