Determine por integração direta o centroide da área mostrada na figura.

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide por integração. Para isso, Sabemos que:

x ' = 2 3 a cos ⁡ ϕ

Agora, precisamos determinar o termo d A , que nada mais é do que a área da nossa figura que está variando:

d A = a d x d A = 1 2 a 2   d ϕ

Para a área, vamos integrar o termo d A . Fica assim:

  A = ∫ d A = ∫ 0 a a   d x - ∫ - α a 1 2 a 2   d ϕ

= a ² 1 - α

Passo 2

Agora, para encontrarmos os centroides, devemos utilizar as seguintes fórmulas:

x - = ∫ x   d A ∫ d A          

Como já temos a integral de d A , vamos calcular as integrais do numerador:

∫ x   d A = ∫ 0 a a   d x - ∫ - α a 2 3 acos ⁡ ϕ 1 2 a 2   d ϕ = a 3

Passo 3

Por fim, basta substituirmos o numerador e o denominador, ficaremos com:

x - = 3 - 4 sin ⁡ α 6 1 - a a

Vale ressaltar que o nosso foco não é nas operações matemáticas.

Resposta

x - = 3 - 4 sin ⁡ α 6 1 - a a

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