Determine o valor da integral ∫ S ( ∇ × A ) ∙ d a , se o vetor A = yi + zj + xk e S é a superfície definida pelo parabolóide z = 1 – x2 – y2, onde z 0.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de matrizes, vetores e cálculo vetorial.

Pelo teorema de Stoke, temos:

∫ S ( ∇ × A ) ∙ d a = ∫ C A ∙ d s

A curva C que envolve nossa superfície S é o círculo unitário que se encontra no plano xy. Como o elemento de área na superfície da é escolhido para fora da origem, a curva é direcionada no sentido anti-horário, conforme exigido pela regra da mão direita. Agora mudando para coordenadas polares, de modo que tenhamos:

d s = d θ e θ   e   A = s e n   θ i + cos ⁡ θ k

E como:

e θ ∙ i = - s e n   θ ; e   e θ ∙ k = 0

Temos que:

∫ C A ∙ d s = ∫ 0 2 π ( - s e n 2   θ ) d θ = - π

Resposta

Ver passo a passo.

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