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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 87

Dois discos A e B têm massa de 4   k g e 1   k g , respectivamente. Se eles deslizam sobre um plano horizontal liso com as velocidades mostradas, determine suas velocidades logo após o impacto. O coeficiente de restituição entre os discos é e = 0,5 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos aplicar a conservação de quantidade de movimento linear paras os corpos A e B , para analisar as velociadades antes e após o impacto.

Como temos componentes das velocidades em y e x , então vamos analisar para os dois eixos:

+ ↘     ∑ m 1 v x 1 = ∑ m 2 v x 2

m A v A x + m B v B x = m A v A ' x + m B v B ' x

- 4 3,9 5 13 + 1 7,8 12 13 = 4 v A ' cos ⁡ θ A - 1 v B ' cos ⁡ θ B

4 v A ' cos ⁡ θ A - v B ' cos ⁡ θ B = 4

Aplicando o mesmo procedimento de conservação de quantidade de movimento linear para o eixo y , temos:

+ ↗       m A v A y = m A v A ' y

4 3,9 12 13 = 4 v A ' sin ⁡ θ A

v A ' sin ⁡ θ A = 3,6   m / s

+ ↗       m B v B y = m B v B ' y

1 7,8 5 13 = 1 v B ' sin ⁡ θ B

v B ' sin ⁡ θ B = 3   m / s

Analisando a restituição, temos:

+ ↘     e = v A ' x - v B ' x v B x - v A x

0,8 = - v B ' cos ⁡ θ B - v A ' cos ⁡ θ A - 3,9 5 13 + 7,8 12 13

v B ' cos ⁡ θ B + v A ' cos ⁡ θ A = 14,5

Agora, vamos somar as seguintes equações:

v B ' cos ⁡ θ B + v A ' cos ⁡ θ A = 14,5

4 v A ' cos ⁡ θ A - v B ' cos ⁡ θ B = 4

Temos:

v B ' cos ⁡ θ B + v A ' cos ⁡ θ A + 4 v A ' cos ⁡ θ A - v B ' cos ⁡ θ B = 14,5 + 4

5 v A ' cos ⁡ θ A = 18,5

v A ' cos ⁡ θ A = 3,7

Temos que:

v B ' cos ⁡ θ B + 3,7 = 14,5

v B ' cos ⁡ θ B = 10,8

Passo 2

Agora só precisamos fazer algumas manipulações para conseguir encontrar os nossos resultados:

v A ' sin ⁡ θ A v A ' cos ⁡ θ A = 3,6 3,7

tan ⁡ θ A = 3,6 3,7

θ A = tan - 1 ⁡ 3,6 3,7

θ A = 44,22 °

Logo:

v A ' cos ⁡ 44,22 ° = 3,7

v A ' = 5,2   m / s

Fazendo o mesmo procedimento para B , temos:

v B ' sin ⁡ θ B v B ' cos ⁡ θ B = 3 10,8

tan ⁡ θ B = 3 10,8

θ B = tan - 1 ⁡ 3 10,8

θ B = 15,52 °

E:

v B ' cos ⁡ 15,52 ° = 10,8

v B ' = 11,2   m / s

Resposta

θ A = 44,22 °

v A ' = 5,2   m / s

θ B = 15,52 °

v B ' = 11,2   m / s

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