Dois eixos maciços e as engrenagens mostradas são usadas para transmitir 12   k W de um motor em A , que gira a uma frequência de 20   H z , a uma máquina-ferramenta em D . Sabendo-se que cada eixo tem um diâmetro de 25   m m , determine a máxima tensão de cisalhamento: (a) no eixo A B ; (b) no eixo C D .

Passo 1

a) Queremos a máxima tensão no eixo A B . Temos esses dados sobre esse eixo:

- frequência de rotação:   2 0   H z

- potência transmitida: P = 1 2   k W = 12   000   W

- diâmetro: d = 25   m m , logo o raio é: c = 0,0125   m

Vem comigo!

Passo 2

Vamos achar o torque nesse eixo, pela relação:

P A B = 2 T A B π f ∴ T A B = P A B 2 π f

Substituindo os dados do nosso problema:

T A B = 12000 2 ⋅ π ⋅ 20 = 95,49296   N ⋅ m

Passo 3

Para um eixo maciço, temos que:

J = π 2 c 4

A gente consegue escrever uma relação entre a tensão máxima, o torque produzido nessa situação e o raio do eixo, pela expressão:

J A B c A B = T A B τ A B m á x ∴ π 2 c A B 3 = T A B τ A B m á x ∴ τ A B m á x = 2 T A B c A B 3 π

Substituindo nossos dados:

τ A B m á x = 2 ⋅ 95,49296 0,0125 3 ⋅ π = 31,1   M P a

Passo 4

b) Agora a gente precisa achar a tensão máxima no eixo C D . Para isso vamos descobrir a torção que está ocorrendo nesse eixo.

Como temos uma transmissão de potência com engrenagens entre o eixo A B e o eixo C D , podemos usar essa relação para achar o torque em C D :

T A B r A B = T C D r C D ∴ T C D = T A B r C D r A B

O raio da engrenagem em A B   é r A B = 0,075   m , e em C D é r C D = 0,125   m . Substituindo isso e o torque que a gente achou para A B :

T C D = 95,49296 ⋅ 0,125 0,075 = 159,15493   N ⋅ m

Passo 5

Podemos agora usar essa relação de novo:

τ A B m á x = 2 T A B c A B 3 π

Mas estamos no eixo C D , então:

τ C D m á x = 2 T C D c C D 3 π

Substituindo os nossos dados:

T C D = 159,15493   N ⋅ m ,     c C D = 0,0125   m

τ C D m á x = 2 ⋅ 159,15493 0,0125 3 ⋅ π = 51,9   M P a

Resposta

(a)   τ A B m á x = 31,1   M P a

(b) τ C D m á x = 51,9   M P a

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