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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 40

Dois fios AC e BC estão amarrados a uma esfera de 7 kg que roda com uma velocidade escalar v no círculo horizontal mostrado na figura. Sabendo que θ 1 = 55° e θ 2 = 30° e que d = 1,4 m, determine o intervalo de valores de v para os quais ambos os fios permanecem tracionados.

Passo 1

Primeiro notamos

a C = a n = v C 2 ρ

onde

ρ = l tan ⁡ 55 °

e

ρ = d + l tan ⁡ 30 °

Então

ρ = d + ρ tan ⁡ 55 ° tan ⁡ 30 °

ou

ρ = 1.4  m 1 tan ⁡ 30 ° - 1 tan ⁡ 55 ° = 1.35680  m

← + Σ F x = m C a C :         T C A sin ⁡ 30 ° + T C B sin ⁡ 55 ° = m C v C 2 ρ

+ ↑ Σ F y = 0 :         T C A cos ⁡ 30 ° + T C B cos ⁡ 55 ° - W C = 0

ou

T C A cos ⁡ 30 ° + T C B cos ⁡ 55 ° = m C g

Passo 2

Caso 1: TCA = 0:

E q .   2 ⇒ T C B = m C g cos ⁡ 55 °

Substituindo na Eq. (1)

m C g cos ⁡ 55 ° sin ⁡ 55 ° = m C v C 2 ρ

ou

( v C 2 ) T C A = 0 = 1.35680   m 9.81   m tan ⁡ 55 °

ou

( v C ) T C A = 0 = 4.36   m/s

Agora nós formamos

cos ⁡ 30 ° 1 - sin ⁡ 30 ° 2

T C B sin ⁡ 55 ° cos ⁡ 30 ° - T C B cos ⁡ 55 ° sin ⁡ 30 ° = m C v C 2 ρ cos ⁡ 30 ° - m C g sin ⁡ 30 °

ou

T C B sin ⁡ 25 ° = m C v C 2 ρ cos ⁡ 30 ° - m C g sin ⁡ 30 °

( v C ) max   ocorre quando T C B = ( T C B ) max , o que ocorre quando T C A = 0 .

( v C ) max = 4.36  m/s  e fio AC ficará tenso se v C < 4.36  m/s.

Passo 3

Caso 2: TCB = 0:

E q .   2 ⇒ T C A = m C g cos ⁡ 30 °

Substituindo na Eq. (1)

m C g cos ⁡ 30 ° sin ⁡ 30 ° = m C v C 2 ρ

ou

( v C 2 ) T c g = 0 = 1.35680   m 9.81   m / s 2   tan   30 °

ou

( v C ) T C g = 0 = 2.77   m/s

Passo 4

Agora nós formamos

cos ⁡ 55 ° 1 - sin ⁡ 55 ° 2

T C A sin ⁡ 30 ° cos ⁡ 55 ° - T C A cos ⁡ 30 ° sin ⁡ 55 ° = m C v C 2 ρ cos ⁡ 55 ° - m C g sin ⁡ 55 °

ou

- T C A sin ⁡ 25 ° = m C v C 2 ρ cos ⁡ 55 ° - m C g sin ⁡ 55 °

( v C ) min   ocorre quando T C A = ( T C B ) max , o que ocorre quando T C B = 0 .

( v C ) min = 2.77  m/s  e fio BC ficará tenso se v C < 2.77  m/s.

Resposta

Ambos os fios estão tensos então 2.77   m/s   < v < 4.36  m/s

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