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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 117

Um ônibus espacial está descrevendo uma órbita circular a uma altitude de 350 mi acima da superfície da Terra. Quando passa pelo ponto A, ele aciona seu motor por um curto intervalo de tempo para reduzir em 500 ft/s sua velocidade escalar e começa sua descida para a Terra. Determine o ângulo AOB de modo que a altitude do ônibus espacial no ponto B seja de 75 mi. (Dica: O ponto A é o apogeu da órbita elíptica de descida.)

Um ônibus espacial está descrevendo uma órbita circular a uma altitude de 560 km acima da superfície da Terra. Quando passa pelo ponto A, ele aciona seu motor por um curto intervalo de tempo para reduzir em 150 m/s sua velocidade escalar e começa sua descida para a Terra. Determine o ângulo AOB de modo que a altitude do ônibus espacial no ponto B seja de 120 km. (Dica: O ponto A é o apogeu da órbita elíptica de descida.)

Passo 1

E ai gurizada tudo certinho? O enunciado pede que a gente determine o ângulo AOB de modo que a altitude do ônibus espacial no ponto B seja de 120 km, então vamos trazer os dados do enunciado para cá :D

R = 6370 K m

r A = 6370 + 560   k m = 6930   k m

r B = 6370 + 120 k m = 6490   k m

Para órbita circular, nós temos [Eq. (12.44)]

V c i r c = g R 2 r A

V c i r c = 6370 × 10 3   m 10 m / s ² 6930 × 10 3   m 1 / 2

= 7651,96   m / s

Agora

v A A B = v c i r c + ∆ v A = 7651,96 - 150 = 7501,96   m / s

Passo 2

Para a tragetória descendente eliptica, nós temos

1 r = G M h ² + C c o s θ                                     [ E q .   12.39 ]

Notando que o Ponto A é o apogeu desta tragetória, nós temos

Para A ,   θ = 180 °

1 r A = G M h ² - C

ou

C = G M h ² - 1 r A

Para B ,   θ = θ B = 180 ° - ∡ A O B

1 r B = G M h ² - C c o s θ B

ou

C = 1 c o s θ B 1 r B - G M h ²

Então

G M h ² - 1 r A = 1 c o s θ B 1 r B - G M h ²

c o s θ B = 1 r B - G M h ² G M h ² - 1 r A

Agora

h = h A A B = r A v A A B

e

G M = g R 2                                   [ E q .   12.30 ]

De cima,

g R 2 = r A v c i r c 2           [ E q .   12.44 ]

Então

G M h ² - r A v c i r c 2 r A v A A B 2 = 1 r A v c i r c v A A B 2

Passo 3

de modo

c o s θ B = 1 r B - 1 r A v c i r c v A A B 2 1 r A v c i r c v A A B 2 - 1 r A = r B r A - v c i r c v A A B 2 v c i r c v A A B 2 - 1

= 0.64411

ou

θ B = 49.901 °

Finalmente,

∡ A O B = 180 ° - 49.901 °

ou

∡ A O B = 130.1 °

Resposta

∡ A O B = 130.1 °

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