Enunciado

Dois perfil de aço, em forma de cantoneira, L   102 × 76 , são perfeitamente unidos para suportar o carregamento mostrado. Sabendo-se que σ a d m = 140   M P a e τ a d m = 85   M P a , determinar a mínima espessura da cantoneira que pode ser utilizada.

Passo 1

Oi, fala aí, galerinha!!! Para resolver esse problema a gente vai seguir o seguinte passo a passo:

  1. Calcular as reações em A e C por meio das equações da estática.
  2. Calcular a força cortante, o momento fletor e achar o momento fletor máximo.
  3. Calcular o módulo resistente da seção W .
  4. O item anterior nos fornecerá com um W mínimo para que a viga resista às cargas. Logo, para achar o perfil I temos de ir na tabela de perfis I no final do livro e selecionar aqueles em que W > W m í n   e seja o mais econômico.
  5. Comparamos também o valor da tensão cisalhante para checar se a nossa escolha também resiste aos esforços cisalhantes.
  6. Por fim comparamos a tensão normal máxima num ponto imediatamente inferior à aba larga.

Perceba que agora temos de fazer três testes depois da escolha do nosso perfil!

Então partiu pro exercício!

Passo 2

Para facilitar fazer um desenho das forças:

Agora vamos calcular as reações. Primeiro vamos perceber que não existem forças horizontais além de A x , logo, esta é nula. Com isso vamos partir para o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - 4,5 × 2 - 9 + C y = 0

A y + C y = 18   k N

E finalmente o somatório dos momentos:

∑ M A = 0

- 4,5 × 2 × 1 - 9 × 1 + ( C y × 2 ) = 0

C y = 9   k N

Substituindo na equação anterior

A y = 18 - C y = 9   k N

Passo 3

Nós queremos o máximo momento fletor máximo e a força cortante máxima. Neste caso temos um carregamento simétrico, então o momento fletor ocorre exatamente no meio:

M m á x = 4,5 × 1 × 0,5 + 9 × 1 - ( V × 1 )

A força cortante vale:

V = 4,5

M m á x = 4,5 × 1 × 0,5 + 9 × 1 - ( 4,5 × 1 )

M m á x = 6,75   k N . m

Enquanto o cortante máximo ocorre nas extremidades:

V m á x = A y = 9   k N

Passo 4

Agora vamos achar o momento resistente mínimo que a viga deve possuir W m í n , que é dado por:

W m í n = M m á x σ a d m

W m í n = 6,75 × 10 3   150 × 10 6

W m í n = 0,045 × 10 - 3   m 3 = 45 × 10 3   m m 3

Passo 5

Agora vamos para a nossa tabela e vamos escolher a viga com W > W m í n e a mais econômica. Aqui econômica significa a viga com a menor altura nominal, logo a nossa selecionada é a seção.

Como são dois perfis temos que dividir o W m í n por dois:

W m í n = 45 × 10 3 2 = 22,5 × 10 3   m m 3

O que nos fornece o perfil:

L   102 × 76 × 9,5

Passo 6

Agora vamos ver se essa seção suporta a tensão de cisalhamento:

τ = Q . V m á x I . t  

A tabela nos fornece:

t = 9,5   m m

I = 2 × ( 1,648 × 10 6 )   m m 4

I = 3,296 × 10 - 6   m 4

Podemos calcular Q da forma:

Q = ∑ A   .   y -

Onde

A = 2 × ( 102 × 9,5 + 76 × 9,5 )

A = 3382   m m 2

y - = 32,5   m m

Q = 3382 × 32,5 = 109915   m m 3

Q = 1,1 × 10 - 4   m 3

Substituindo na equação:

τ = Q . V m á x I . t  

τ = 1,1 × 10 - 4 .     9 × 10 3 3,296 × 10 - 6   .   0,0095    

τ = 31,62   M P a

Como essa tensão é menor do que a tensão admissível ( τ a d m = 90   M P a ) então nossa viga também passou neste teste.

Passo 7

Agora só falta mais um último teste, que é analisar a tensão normal no ponto logo abaixo da aba. Vamos fazer isso utilizando o M m á x e a distância entre a linha neutra e esse ponto no “sovaquinho” da aba:

σ = M m á x   .   y I

Sendo que a distância y é calculada como:

y = y - - t

Onde d é a altura do perfil e t f a altura da aba. Portanto, tirando esses valores da tabela:

y = 43,2 - 9,5 = 33,7   m m

Substituindo os valores na equação:

σ = M m á x   .   y I

σ = 6,75 × 10 3   .   33,7 × 10 - 3 3,296 × 10 - 6

σ = 69   M P a

Novamente o valor se mostrou inferior à nossa tensão admissível σ a d m = 160   M P a .

Resposta

O perfil que vamos utilizar é mesmo o perfil L   102 × 76 × 9,5  

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