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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 62a

Resolver o Prob. 6.28, usando o círculo de Mohr.

Uma força vertical de 4 k N é aplicada no ponto A de um componente de máquina mostrado. Determinar as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento no: (a) ponto H

Passo 1

Algo muito importante antes de partir para as continhas, é definir melhor nossos eixos coordenados. É interessante colocar o eixo x como normal à nossa seção. Vamos fazer assim:

Nesse tipo de questão com esforços combinados, a primeira coisa a fazer é substituirmos essa força por um sistema de forças e momentos equivalentes, aplicados no centróide da seção que passa por K e H .

Isso vai representar os esforços internos nessa seção, que a gente vai usar para calcular as tensões. Temos essas componentes, em relação esse novo sistema de coordenadas:

- Cortante:

V y = - 4000   N

- Torção:

M x = T = 4000 ⋅ 0,035 = 140   N ⋅ m

- Momentos:

M z = - 4000 ⋅ 0,115 = - 460   N ⋅ m

Passo 2

Bora calcular as propriedades geométricas da seção transversal:

h = b = l

c y = l 2 = 0,015   m

c z = 0

A = l 2 = 0,03 2 = 0,0009   m 2

I y = I z = 0,03 ⋅ 0,03 3 12 = 6,75 ⋅ 10 - 8   m 4

Passo 3

Agora é aplicar nossas fórmulinhas de tensão para o ponto H . O momento em z gera tensão normal de tração.

σ x = - M z c y I z = - - 460   ⋅ 0,015 6,75 ⋅ 10 - 8 = 102,22   M P a

A nossa torção vai gerar um cisalhamento no plano x z , dado por:

τ x z = T c 1 a b 2

Como no nosso caso a = b = 0,03 e a / b = 1 , c 1 = 0,208 . Aí ficamos com:

τ x z = 140 0,208 ⋅ 0,03 3 = 24,93   M P a

O cortante não gera cisalhamento porque nosso ponto está na fibra superior da nossa seção.

Passo 4

Agora é usar o círculo de Mohr para descobrir as tensões principais e a de cisalhamento máxima. Como o nosso cisalhamento está no plano x z , esse vai ser nosso plano. Para desenhar ele, precisamos dos pontos:

X = σ x ,   τ x z = 102,22   , + 24,93

Z = σ y ,   - τ x z = 0 ,   - 24,93

Repara que a tensão para Z vai ser a negativa, porque a tensão cisalhante na face perpendicular a esse eixo vai tender a girar o elemento no sentido anti-horário.

σ m é d i o = σ x + σ z 2 = 51,11   M P a

C = σ m é d i o , 0 = 51,11   ,   0

Aí ele fica assim:

Passo 5

Daí a gente tira umas relaçõezinhas bonitinhas:

d = σ z - σ x 2 = 51,11   M P a

R 2 = d 2 + τ x z 2 ∴ R = 56,87   M P a

E nossas tensões principais ficam:

σ m á x = σ m é d i a + R = 107,98   M P a

σ m í n = σ m é d i a - R = - 5,76   M P a

E a de cisalhamento:

τ m á x = R = 56,87   M P a

Resposta

σ m á x = 107,98   M P a

σ m í n = - 5,76   M P a

τ m á x = 56,87   M P a

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