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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 63a

Resolver o Prob. 6.27, usando o círculo de Mohr.

Uma força vertical de 18 k N é aplicada no ponto A da barra A B , que é soldada a um tubo de alumínio extrudado de espessura uniforme de 6   m m . Determinar as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento no: (a) ponto H

Passo 1

Algo muito importante antes de partir para as continhas, é definir melhor nossos eixos coordenados. É interessante colocar o eixo x como normal à nossa seção. Vamos fazer assim:

Nesse tipo de questão com esforços combinados, a primeira coisa a fazer é substituirmos essa força por um sistema de forças e momentos equivalentes, aplicados no centróide da seção que passa por K e H .

Isso vai representar os esforços internos nessa seção, que a gente vai usar para calcular as tensões. Temos essas componentes, em relação esse novo sistema de coordenadas:

- Cortante:

V y = - 18   000   N

- Torção:

M x = T = 18000 ⋅ 0,1 = 1800   N ⋅ m

- Momentos:

M z = - 18000 ⋅ 0,12 = - 2160   N ⋅ m

Passo 2

Bora calcular as propriedades geométricas da seção transversal:

c z = 0

c y = 0,05   m

A = 0,1 ⋅ 0,05 - 0,1 - 0,012 0,05 - 0,012 = 0,001656   m 2

A m = ( 0,05 - 0.006 ) ( 0.1 - 0.006 ) = 0,004136   m 2

I z = 0,05 ⋅ 0,1 3 12 - 0,05 - 0,012 ⋅ 0,1 - 0,012 3 12 = 2,00867 ⋅ 10 - 6   m 4

I y = 0,05 3 ⋅ 0,1 12 - 0,05 - 0,012 3 ⋅ 0,1 - 0,012 12 = 6,39272 ⋅ 10 - 7   m 4

Passo 3

Agora é aplicar nossas fórmulinhas de tensão para o ponto H . O momento em z gera tensão normal de tração:

σ x = - M z c y I z = - - 2160   0,05 2,00867 ⋅ 10 - 6 = 53,77   M P a

A nossa torção vai gerar um cisalhamento no plano x z , dado por:

τ x z = T 2 t A m

Como t = 0,006   m :

τ x z = 1800   2 ⋅ 0,006 ⋅ 0,004136 = 36,27   M P a

O cortante não vai gerar cisalhamento nesse ponto, porque H está na fibra superior da seção.

Passo 4

Agora é usar o círculo de Mohr para descobrir as tensões principais e a de cisalhamento máxima. Como o nosso cisalhamento está no plano x z , esse vai ser nosso plano. Para desenhar ele, precisamos dos pontos:

X = σ x ,   τ x z = 53,77 , + 3 6 , 27  

Z = σ z ,   - τ x z = 0 ,   - 3 6 , 27  

Repara que a tensão para Z vai ser a negativa, porque a tensão cisalhante na face perpendicular a esse eixo vai tender a girar o elemento no sentido anti-horário.

σ m é d i o = σ x + σ z 2 = 26,885   M P a

C = σ m é d i o , 0 = 26,885   , 0

Aí ele fica assim:

Passo 5

Daí a gente tira umas relaçõezinhas bonitinhas:

d = σ z - σ x 2 = 26,885   M P a

R 2 = d 2 + τ x z 2 ∴ R = 4 5,1   M P a

E nossas tensões principais ficam:

σ m á x = σ m é d i a + R = 7 2,0   M P a

σ m í n = σ m é d i a - R = - 18,3   M P a

E a de cisalhamento:

τ m á x = R = 4 5,1   M P a

Resposta

σ m á x = 7 2,0   M P a

σ m í n = - 18 , 3   M P a

τ m á x = 4 5,1   M P a

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