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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 21

No eixo de um automóvel atuam as forças e o torque mostrado. Sabendo-se que o diâmetro do eixo é de 30mm, determinar: (a) os planos principais e as tensões principais no ponto H, localizado no cume da superfície do eixo;(b) a máxima tensão de cisalhamento no mesmo ponto.

Passo 1

Fala aí, sei que ao ver tantas ações na estrutura pode parecer desesperador, mas vem comigo e vamos juntos resolver esse exercício passo a passo.

Precisamos saber quais são as tensões que nos interessam naquele ponto H. Olhando pra figura a gente pode ver que as ações:

P 1 = P 2 = P = 2670 N

Formam um binário, e causam momento fletor no ponto H.

E a ação:

T = 280 N . m

Causa cisalhamento no ponto por torção.

Passo 2

Vamos reunir as fórmulas que a gente tem:

σ = M c I

τ = T ρ J

Nesse caso pra seção circular:

c = r = ρ

Sendo J = π r 4 / 2   e   I = J / 2   :

Para a flexão teremos:

M = P d 1 - d 2 = - 150 P

M = - 400,5 K N m

I = π × 15 4 4 = 39,76 × 10 3 m m 4

Enfim a tensão será:

σ = M c I = - 400,5 × 10 3 × 15 39,76 × 10 3

σ = - 151,094 M P a

E para o cisalhamento a gente faz assim:

J = 2 I = 79,52 × 10 3 m m 4

τ = 280 × 10 3 × 15 79,52 × 10 3

τ = 52,817 M P a

Passo 3

Agora vamos avaliar o nosso ponto, se a gente pegar o infinitesimal dele podemos dizer que:

σ x = - 151,094 M P a

τ x y = 52,817 M P a

Agora pra gente achar os planos principais vamos primeiro calcular o centro e o raio do círculo de Mohr.

c = σ x + σ y 2 = - 75,547 M P a

R = σ x - c 2 + τ x y 2 = 92,18 M P a

Passo 4

Enfim as tensões principais podem ser calculadas por:

σ 1 = c + r = 16,633 M P a

σ 2 = c - r = - 167,727 M P a

E o ângulo desse plano para o elemento pode ser dado por:

tan ⁡ 2 θ = 2 τ x y σ x - σ y = 2 × 52,817 - 151,094 = - 0,7

2 θ = a r c t g - 0,7 = - 34,96 °

θ = - 17,48 °

E pro item b, já calculamos o raio que é a tensão cisalhante máxima:

R = τ m = 92,18 M P a

Resposta

  1. σ 1 = 16,633 M P a

    2. σ 2 = - 167,727 M P a

    θ = - 17,48 °

  2. τ m = 92,18 M P a
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Para a viga com o carregamento mostrado, dimensionar a seção transversal da viga, sabendo-se que a para o tipo de madeira usada a σ a d m = 12M P a e τ a d m = 860k P a .
Sabendo-se que σ a d m = 160M P a e τ a d m = 100M P a , selecionar o perfil I de abas largas que poderia ser usado para suportar o carregamento mostrado.
Sabendo-se que σ a d m = 160M P a e τ a d m = 100M P a , selecionar o perfil I de abas largas que poderia ser usado para suportar o carregamento mostrado.
Sabendo-se que σ a d m = 16 5M P a e τ a d m = 100M P a , selecionar o perfil I de abas largas que poderia ser usado para suportar o carregamento mostrado.
Sabendo-se que σ a d m = 160M P a e τ a d m = 100M P a , selecionar o perfil I de abas largas que poderia ser usado para suportar o carregamento mostrado.