Enunciado

O eixo maciço de aço mostrado está submetido aos torques de 0,9   k N × m , aplicados nas extremidades A e D . Usando G = 77   G P a , determinar a energia de deformação do eixo.

Passo 1

Oi, galera! Como está a vida? Vamos fazer uma questão de energia de deformação pra alegrar?

Nesse exercício precisamos calcular a energia de deformação U da barra A D que tem diâmetro D A D variável. Pra calcular a energia de deformação U dessa barra grande A D , precisamos dividí-la em barras com diâmetros iguais! No nosso caso, dividiremos a barra A D em três barras: a barra A B de energia U A B , a barra B C de energia U B C e a barra C D de energia U C D .

D A B , D B C e D C D são os diâmetros das barras A B , B C e C D respectivamente. L A B , L B C e L C D são os comprimentos das barras A B , B C e C D respectivamente. T 1 e T 2 são os torques que torcem a barra A D .

Como a barra A D é a soma das barras A B , B C e C D , a energia U da barra A D é a soma das energias de deformação U A B , U B C e U C D das barras A B , B C e C D .

U = U A B + U B C + U C D

Para calcular as energias de deformação U A B , U B C e U C D das barras A B , B C e C D com áreas de seção transversal constantes e torques T constantes, precisamos usar a equação 10.22 do livro que serve para esse caso barras com áreas constantes e torques constantes.

U A B = T A B 2 L A B 2 G J A B

U B C = T B C 2 L B C 2 G J B C

U C D = T C D 2 L C D 2 G J C D

G é o módulo de elasticidade transversal do material da barra. Ele vale 77   G P a segundo o enunciado. T A B , T B C e T C D são os torques que agem nas barras A B , B C e C D respectivamente.

Agora que temos todas essas fórmulas, vamos começar a fazer as contas, calculando T A B , T B C e T C D !

Passo 2

Vamos calcular quanto valem os torques das barras T A B , T B C e T C D . Achamos esses valores, usando a equação de equilíbrio de momento em cada barra. Essa equação diz que a soma de todos os torques em cada barra deve ser igual a zero. Ou seja, se um torque gira a barra para um lado, deve haver um torque igual que faça a barra girar pro outro lado!

Na figura acima, nós vemos os torques que são aplicados em cada barra.

No entanto, para resolver o problema, precisamos lembrar da lei da ação e reação.

Quando a barra B C aplica um torque T A B na barra A B , a barra A B reage com um torque T B C igual de sentido contrário! Isso significa que T A B (o torque que a barra B C faz em A B ) tem que ser igual a T B C (o torque que a barra A B faz em B C ).

T B C = T A B

Isso não para por aí. As barras B C e C D estão conectadas. Isso significa que o torque T B C que a barra C D aplica na barra B C deve ser igual ao torque T C D que a barra B C aplica na barra C D por causa da lei de ação e reação.

T C D = T B C = T A B

Isso quer dizer que só precisamos achar quando vale T A B !

Calculamos T A B , dizendo que a soma desses torques vale zero, porque a barra está parada.

A figura abaixo mostra os torques aplicados na barra A B .

Como o torque T A B faz a barra girar para o sentido contrário (setinha verde do torque está pra esquerda), colocamos um sinal de menos na frente desse torque.

- T A B + T 1 = 0       ⟹       T A B = T 1       ⟹       T A B = 0,9   k N × m       ⟹       T A B = 900   N × m

Logo:

T C D = T B C = T A B = 900   N × m

Com esses valores de torque, falta apenas calcular os valores dos momentos de inércia polares J A B , J B C e J C D de cada barra para achar U A B , U B C e U C D .

Passo 3

Antes de achar as energias de deformação U A B , U B C e U C D de cada barra, temos que encontrar os valores dos momentos de inércia polares J A B , J B C e J C D de cada barra .

Fazemos isso, através das fórmulas de momentos de inércia polares para áreas circulares abaixo. Antes, devemos converter os diâmetros de m m pra m , multiplicando eles por 10 - 3 .

J A B = π × D A B 4 32       ⟹       J A B = π × 50 × 10 - 3 4 32       ⟹       J A B = 6,1359 × 10 - 7   m 4

J B C = π × D B C 4 32       ⟹       J B C = π × 40 × 10 - 3 4 32       ⟹       J B C = 2,5133 × 10 - 7   m 4

J C D = π × D A B 4 32       ⟹       J C D = π × 50 × 10 - 3 4 32       ⟹       J C D = 6,1359 × 10 - 7   m 4

Com J A B , J B C e J C D , já podemos calcular as energias de deformação de cada barra no próximo passo!

Passo 4

Substituímos J A B , J B C e J C D nas equações de U A B , U B C e U C D para achar as energias de deformação. No entanto, antes disso nós precisamos converter os comprimentos L de m m pra m (multiplicando eles por 10 - 3 ) e converter o G de G P a para P a (multiplicando ele por 10 9 ).

U A B = T A B 2 L A B 2 G J A B       ⟹       U A B = 900 2 × 125 × 10 - 3 2 × 77 × 10 9 × 6,1359 × 10 - 7       ⟹       U A B = 1,072   J

U B C = T B C 2 L B C 2 G J B C       ⟹       U B C = 900 2 × 150 × 10 - 3 2 × 77 × 10 9 × 2,5133 × 10 - 7       ⟹       U B C = 3,139   J

U C D = T C D 2 L C D 2 G J C D       ⟹       U C D = 900 2 × 125 × 10 - 3 2 × 77 × 10 9 × 6,1359 × 10 - 7       ⟹       U C D = 1,072   J

Somando essas três energias de deformação, conseguimos achar a energia de deformação total U que a questão pede!

U = U A B + U B C + U C D

U = 1,072 + 3,139 + 1,072

U = 5,28   J

Resposta

U = 5,28   J

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Torques T de mesma intensidade são aplicados aos eixos de aço A B e C D . Usando o método do trabalho e energia, determinar o comprimento L da porção vazada do eixo C D , para que o ângulo de torção e
Dois eixos maciços de aço são conectados pelas engrenagens mostradas. Usando o método do trabalho e energia, determinar o ângulo de rotação da extremidade D , quando T = 820N × m . Usar G = 77G P a .
Resolver o P r o b . 2.116 , considerando que por uma segunda vez a temperatura da barra é aumentada e depois diminuída.
A barra rígida ABC é suportada por duas barras elásticas, AD e BE, de seção transversal retangular uniforme de 37,5 × 6 m m e feitas de um aço doce considerado elastoplástico, com E = 200 G P a e σ e
A barra rígida ABC é suportada por duas barras elásticas, AD e BE, de seção transversal retangular uniforme de 37,5 × 6 m m e feitas de um aço doce considerado elastoplástico, com E = 200 G P a e σ e