Um cilindro vazado de borracha liga uma barra A , de raio R 1 , a um tubo B , de raio interno R 2 , formando um suporte isolante de vibração. Denotando por G o módulo de elasticidade transversal da borracha, determinar a energia de deformação do cilindro vazado de borracha para o carregamento mostrado.

Passo 1

E aí, meus queridos! Como vocês estão?

Esse é um bom exercício de energia de deformação que te ajudar a se preparar pra sua prova!

A questão pede que a gente calcule a energia de deformação U de um cilindro vazado de borracha que liga a barra A a um tubo B . Como veremos no diagrama de corpo livre da borracha, ele só está submetido a forças de cisalhamento. Isso significa que ele possui apenas deformações de cisalhamento e sua energia U pode ser calculada pela equação 10.20 do livro.

U = ∫ τ 2 2 G   d V

onde τ é a tensão de cisalhamento da borracha, G é o módulo de elasticidade transversal da borracha, V é o volume da borracha e d V é o volume de um elemento infinetesimal da borracha.

Esses termos são mostrados na figura abaixo.

r é a distância entre o eixo da borracha e um ponto qualquer da borracha.

Por essa figura, nós vemos que a barra A aplica na borracha uma força cisalhante Q para a direita. Além disso, o tubo B aplica na borracha uma força cisalhante Q para a esquerda. Essas duas forças cisalhantes são aplicadas no eixo da borracha cilíndrica.

Agora que entendemos tudo isso, podemos partir para o próximo passo!

Passo 2

Para conseguir resolver a integral de U , precisamos saber quanto vale a tensão de cisalhamento τ da borracha.

Essa tensão é igual à força de cisalhamento Q dividida pela área cilíndrica A sobre a qual a tensão τ é aplicada.

τ = Q A

A figura abaixo mostra melhor quanto vale essa área A .

Substituindo o valor de A presente na figura na equação de τ , achamos:

τ = Q 2 π r L

Agora sim somos capazes de tentar resolver a integral de U !

Passo 3

Substituindo o valor de τ que deduzimos na equação de U , encontramos:

U = ∫ Q 2 π r L 2 2 G   d V       ⟹       U = ∫ Q 2 4 π 2 r 2 L 2 2 G   d V

No entanto, essa integral ainda está em função de d V . O volume d V de um elemento infinitesimal cilíndrico está presente na figura abaixo!

Podemos substituir essa nova informação na integral para tentar resolvê-la.

U = ∫ R 1 R 2 Q 2 4 π 2 r 2 L 2 2 G   2 π r L   d r       ⟹       U = ∫ R 1 R 2 Q 2 4 π r L G   d r

Vamos deixar para o passo seguinte a resolução dessa integral.

Passo 4

Primeiro, precisamos colocar as constantes para fora da integral.

U = Q 2 4 π L G ∫ R 1 R 2 1 r   d r

Depois, encontramos a integral.

U = Q 2 4 π L G ln ⁡ r R 1 R 2

Substituindo os limites de integração:

U = Q 2 4 π L G ln ⁡ R 2 - ln ⁡ R 1       ⟹       U = Q 2 4 π L G ln ⁡ R 2 R 1

Parabéns! Conseguir resolver mais uma questão!

Resposta

U = Q 2 4 π L G ln ⁡ R 2 R 1

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