Enunciado

Usando E = 200   G P a , determinar a energia de deformação devido à flexão, para a viga com o carregamento mostrado (desprezar o efeito das tensões de cisalhamento).

Passo 1

E aííí, gente boa! Bora fazer um exercício de energia de deformação?

Nesse exercício precisamos calcular a energia de deformação U da barra A D . Nesse exercício vamos calcular apenas a energia de deformação da barra que é causada pelo momento fletor M presente na barra. A equação que calcula essa energia U da barra causada pelo momento fletor M é:

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

onde L é o comprimento total da barra A D , E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia.

Para calcular o momento fletor M , temos que achar as forças que atuam na barra. A figura abaixo mostra as forças atuando na barra A D .

R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B e R C é a força de reação causada pela restrição no ponto C . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de momento. Para a gente achar o momento fletor M , calcularemos as duas forças no próximo passo!

Passo 2

Como vamos calcular o momento fletor M fazendo o equilíbrio da parte esquerda da barra, temos que conhecer R B e R C !

Achamos R B através da equação de equilíbrio de momento no ponto C . Como a força R C não tem braço de alavanca em C , ela não aparece na equação de equilíbrio de momento em C .

Como as forças R B e P 2 fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R B e de P 2 .

Além disso, precisamos lembrar que as forças P 1 e P 2 de 10   k N valem 10 × 10 3   N .

∑ C M = 0

- M B + M P 1 - M P 2 = 0

- R B b + P 1 a + b - P 2 c = 0

- R B × 1,54 + 10 × 10 3 × 0,38 + 1,54 - 10 × 10 3 × 0,38 = 0

R B = 10 × 10 3 × 0,38 + 1,54 - 10 × 10 3 × 0,38 1,54

R B = 10000   N

Achamos R C através da equação de equilíbrio de momento no ponto B . Como a força R B não tem braço de alavanca em B , ela não aparece na equação de equilíbrio de momento em B .

Como a força P 2 faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de P 2 .

∑ B M = 0

M C + M P 1 - M P 2 = 0

R C b + P 1 a - P 2 b + c = 0

R C × 1,54 + 10 × 10 3 × 0,38 - 10 × 10 3 × 0,38 + 1,54 = 0

R C = 10 × 10 3 × 0,38 + 1,54 - 10 × 10 3 × 0,38 1,54

R C = 10000   N

Agora estamos aptos a achar M !

Passo 3

Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra A D . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem três valores. Um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui a força R B . Outro quando a parte esquerda inclui a força R B . E o último, quando a parte esquerda inclui as forças R B e R C . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

∑ x M = 0

M P 1 + M = 0       ⟹       P 1 x + M = 0       ⟹       10000 x + M = 0       ⟹       M = - 10000 x

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

Como a força R B faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R B .

∑ x M = 0

M P 1 - M B + M = 0

P 1 x - R B x - a + M = 0

10000 x - 10000 x - 0,38 + M = 0

M = - 3800   N × m

Por fim, vamos calcular o terceiro valor de M .

Como as forças R B e R C fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R B e de R C .

∑ x M = 0

M P 1 - M B - M C + M = 0

P 1 x - R B x - a - R C x - a + b + M = 0

10000 x - 10000 x - 0,38 - 10000 x - 0,38 + 1,54 + M = 0

M = 10000 x - 2,3

Com esses valores de M , podemos achar U !

Passo 4

M tem três valores. Um quando x vale entre 0 e a , outro quando x vale entre a e a + b .

S e   0 ≤ x < a       ⟹       M = - 10000 x

S e   a ≤ x < a + b       ⟹       M = - 3800   N × m

S e   a + b ≤ x ≤ a + b + c       ⟹       M = 10000 x - 2,3

Por isso, para substituir M na integral que calcula U , precisamos separar a integral em três. Uma que vai de 0 a a para o primeiro valor de M . Outra que vai de a a a + b para o segundo valor de M . E a terceira que vai de a + b a a + b + c para o terceiro valor de M

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

U = ∫ 0 a M 2 2 E I d x + ∫ a a + b M 2 2 E I d x + ∫ a + b a + b + c M 2 2 E I d x

Agora, temos que substituir os valores de M , E e I nas integrais corretas.

Antes disso, temos que converter o módulo de elasticidade E de G P a para P a , multiplicando por 10 9 .

E = 200   G P a       ⟹       E = 200 × 10 9   P a

O momento de inércia I do perfil da barra pode ser encontrado pela equação de momento de inércia de uma área retangular. Antes, temos que lembrar que a dimensão d de 40   m m vale 0,04   m e que a dimensão h de 80   m m vale 0,08   m .

I = 1 12 d h 3       ⟹       I = 1 12 0,04 × 0,08 3       ⟹       I = 1,70666 × 10 - 6   m 4

Pronto, enfim podemos usar a integral para calcular U .

U = ∫ 0 0,38 - 10000 x 2 2 × 200 × 10 9 × 1,70666 × 10 - 6 d x + ∫ 0,38 1,92 3800 2 2 × 200 × 10 9 × 1,70666 × 10 - 6 d x

+ ∫ 1,92 2,3 10000 x - 2,3 2 2 × 200 × 10 9 × 1,70666 × 10 - 6 d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U = 146,48 ∫ 0 0,38 x 2   d x + 21,15 ∫ 0,38 1,92 1   d x + 146,48 ∫ 1,92 2,3 x - 2,3 2   d x

U = 146,48 x 3 3 0 0,38 + 21,15 x 0,38 1,92 + 146,48 x - 2,3 3 3 1,92 2,3

U = 146,48 × 0,38 3 3 + 21,15 × 1,92 - 0,38 - 146,48 × 1,92 - 2,3 3 3

U = 37,9   J

Resposta

U = 37,9   J

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