Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 42
Usando , determinar a energia de deformação devido à flexão, para a viga com o carregamento mostrado (desprezar o efeito das tensões de cisalhamento).
Passo 1
E aííí, gente boa! Bora fazer um exercício de energia de deformação?
Nesse exercício precisamos calcular a energia de deformação da barra . Nesse exercício vamos calcular apenas a energia de deformação da barra que é causada pelo momento fletor presente na barra. A equação que calcula essa energia da barra causada pelo momento fletor é:
onde é o comprimento total da barra , é o módulo de elasticidade e é o momento de inércia.
Para calcular o momento fletor , temos que achar as forças que atuam na barra. A figura abaixo mostra as forças atuando na barra .
é a força de reação causada pela restrição no ponto e é a força de reação causada pela restrição no ponto . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de momento. Para a gente achar o momento fletor , calcularemos as duas forças no próximo passo!
Passo 2
Como vamos calcular o momento fletor fazendo o equilíbrio da parte esquerda da barra, temos que conhecer e !
Achamos através da equação de equilíbrio de momento no ponto . Como a força não tem braço de alavanca em , ela não aparece na equação de equilíbrio de momento em .
Como as forças e fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de e de .
Além disso, precisamos lembrar que as forças e de valem .
Achamos através da equação de equilíbrio de momento no ponto . Como a força não tem braço de alavanca em , ela não aparece na equação de equilíbrio de momento em .
Como a força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de .
Agora estamos aptos a achar !
Passo 3
Para achar precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra . Calcularemos o equilíbrio no ponto . O momento tem três valores. Um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui a força . Outro quando a parte esquerda inclui a força . E o último, quando a parte esquerda inclui as forças e . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de .
Agora vamos calcular o segundo valor de .
Como a força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de .
Por fim, vamos calcular o terceiro valor de .
Como as forças e fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de e de .
Com esses valores de , podemos achar !
Passo 4
tem três valores. Um quando vale entre e , outro quando vale entre e .
Por isso, para substituir na integral que calcula , precisamos separar a integral em três. Uma que vai de a para o primeiro valor de . Outra que vai de a para o segundo valor de . E a terceira que vai de a para o terceiro valor de
Agora, temos que substituir os valores de , e nas integrais corretas.
Antes disso, temos que converter o módulo de elasticidade de para , multiplicando por .
O momento de inércia do perfil da barra pode ser encontrado pela equação de momento de inércia de uma área retangular. Antes, temos que lembrar que a dimensão de vale e que a dimensão de vale .
Pronto, enfim podemos usar a integral para calcular .
Colocando as constantes para fora da integral, achamos: