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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 10

O eixo A B tem diâmetro de 30   m m e é feito de um aço, com tensão admissível ao cisalhamento de 90   M P a , enquanto que o eixo B C tem diâmetro de 50   m m e é feito de uma liga de alumínio, com tensão admissível ao cisalhamento de 60   M P a . Desprezando-se o efeito de concentrações de tensões, determine o maior torque T que pode ser aplicado em A .

Passo 1

Para resolver este problema vamos ter que aplicar a equação da torção, que é a seguinte:

τ = T ⋅ c J

Onde:

  • τ Representa a tensão de cisalhamento.
  • T A torção a qual a barra está submetida.
  • c A distância do centro ao ponto de aplicação.
  • J O momento de inércia polar.

Lembrando que o momento de inércia polar é calculado como:

J = π ⋅ c 4 2

No caso vamos ter que analisar o torque T máximo, tanto para a barra A B quanto para a barra B C .

Passo 2

Vamos analisar qual será o torque para a barra A B primeiro. Para calcular esse torque vamos substituir na equação, calculando primeiro o momento de inércia polar.

J = π ⋅ c 4 2

J = π ⋅ ( 15 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 50625 × 10 - 12 2

J = 79521,56 × 10 - 12   m 4

Passo 3

Agora é só substituir na equação, lembrando que o maior torque acontece no ponto mais externo c = r

τ = T ⋅ c J

90 × 10 6 = T ⋅ 15 × 10 - 3 79521,56 × 10 - 12  

90 × 10 6 ⋅ 79521,56 × 10 - 12 = T ⋅ 15 × 10 - 3

T ⋅ 15 × 10 - 3 = 90 × 10 6 ⋅ 79521,56 × 10 - 12

T = 90 × 10 6 ⋅ 79521,56 × 10 - 12 15 × 10 - 3

T = 90 ⋅ 79521,56 15 ⋅ 10 6 × 10 - 12 10 - 3

T = 477129,36 ⋅ 10 - 3   N . m

T = 477,13   N ⋅ m

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa para a barra B C . Primeiro calculando o momento de inércia polar.

J = π ⋅ c 4 2

J = π ⋅ ( 25 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 390625 × 10 - 12 2

J = 613592,32 × 10 - 12 m 4

Passo 5

Aplicando na equação do torque:

τ = T ⋅ c J

60 × 10 6 = T ⋅ 25 × 10 - 3 613592,32 × 10 - 12

60 × 10 6 ⋅ ( 613592,32 × 10 - 12 ) = T ⋅ 25 × 10 - 3

T ⋅ 25 × 10 - 3 = 60 × 10 6 ⋅ ( 613592,32 × 10 - 12 )

T = 60 × 10 6 ⋅ 613592,32 × 10 - 12 25 × 10 - 3

T = 60 ⋅ 613592,32 25 ⋅ 10 6 ⋅ 10 - 12 10 - 3

T = 1472621,56 ⋅ 10 - 3   N . m

T = 1472,6   N ⋅ m

Como queremos o torque que pode ser aplicado no conjunto sem ultrapassar o limite então devemos escolher o menor dos dois, no caso =:

T = 477,13   N ⋅ m

Resposta

T = 477,13   N ⋅ m

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