Enunciado

Para o estado plano de deformação dado, use o círculo de Mohr para determinar (a) a orientação e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação máxima no plano e (c) a deformação de cisalhamento máxima.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos precisar desenhar o círculo de Mohr para as deformações, para fazer isso, precisamos dos pontos X, Y e do centro C do círculo, fazendo isso, conseguimos encontrar a orientação das deformações principais. Para finalizar a letra (a) e encontrar a intensidade das deformações principais, vamos precisar calcular a deformação média e a o raio do círculo de Mohr.

Depois, para as letras (b) e (c), vamos analisar os sinais das deformações principais para encontrar a deformação máxima no plano e a deformação de cisalhamento máxima. Então bora lá!

Passo 2

Então, vamos começar escrevendo as deformações que foram dadas no enunciado:

ϵ x = 300   μ

ϵ y = 60   μ

γ x y = 100   μ

Agora, com esses valores podemos calcular a deformação média, que será dada por:

ϵ m e d = ϵ x + ϵ y 2 = 300 + 6 0 2 → ϵ m e d = 18 0   μ

Agora, sabemos que os pontos do círculo de Mohr são dados por:

X = ϵ x , - γ x y 2 = 300 ; - 50   μ

Y = ϵ y , γ x y 2 = 60 ; 50   μ

C = ϵ m e d , 0 = 180 ; 0   μ

E, agora, vamos calcular o raio do círculo de Mohr, que será dado por:

R = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2 = 300 - 6 0 2 2 + 100 2 2

R = 130   μ

Com esses valores, podemos finalmente desenhar o círculo de Mohr, que para o nosso caso será:

Passo 3

Então, no nosso caso, a direção principal será dada por:

t g   2 θ P = γ x y ϵ x - ϵ y

E, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t g   2 θ P = 100 300 - 60 → θ P = 11,31 °

E, como sabemos que a outra direção principal fica a 90° de inclinação no elemento diferencial (ou seja, a 180° no círculo de Mohr), então a outra direção será:

θ P = 11,31 ° + 90 ° → θ P = 101,31 °

Agora, para encontrar a intensidade das deformações principais, vamos utilizar as seguintes relações para encontrar as deformações nos pontos A e B do nosso círculo:

ϵ a = ϵ m e d + R = 180 + 130 → ϵ a = 310   μ

ϵ b = ϵ m e d - R = 180 - 130 → ϵ b = 50   μ

Beleza! Fechamos a letra (a).

Passo 4

Agora, para a letra (b), a primeira coisa que devemos notar é que as deformações principais possuem o mesmo sinal, como podemos ver pelo círculo de Mohr também! Ou seja, como sabemos que o círculo tridimensional toca a origem, a nossa deformação normal mínima será:

ϵ m i n = 0

Sendo assim, a deformação máxima no plano será o próprio diâmetro do círculo de Mohr, ou seja:

γ m a x , P = 2 R = 2 130 → γ m a x , P = 260   μ

Passo 5

Beleza, e agora, para a letra (c), sabemos que a deformação máxima de cisalhamento será dada por:

γ m a x = ϵ m a x - ϵ m i n

Então, com os valores encontrados no passo 3 e no passo 4, temos que:

ϵ m a x = 310   μ

ϵ m i n = 0

Então, a nossa deformação de cisalhamento máxima será:

γ m a x = 310 - 0 → γ m a x = 310   μ

Shooow! Fechamos mais um exercício, valeeu!

Resposta

a :   θ P = 11,31 ° ;   θ P = 101,31 °

a :   ϵ a = 310   μ ;   ϵ b = 50   μ

b :   γ m a x , P = 260   μ

c :   γ m a x = 310   μ

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