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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 98

Uma força F 1 de 77 N e um binário M 1 de 54 N.m são aplicados no canto E da chapa dobrada mostrada na figura. Se F 1 e M 1 tiverem de ser substituídos por um sistema força-binário equivalente F 2 ,   M 2 no canto B, e se M 2 z = 0 , determine ( a ) a distância d , ( b ) F 2 e M 2 .

Passo 1

Para resolver esse exercício, precisamos encontrar o vetor que liga os pontos H e B:

r → H / B = 0,31 i → - 0,0233 j →

Agora precisamos fazer a mesma coisa para os pontos EH (direção da força F 1 ) e EJ (direção do binário M 1 ):

E H → = 0,06 i → + 0,06 j → - 0,07 k →

E J → = - d i → + 0,03 j → - 0,07 k →

Agora vamos encontrar o módulo desses vetores:

E H = 0,06 2 + 0,06 2 + - 0,07 2 → E H = 0,11   m

E J = - d 2 + 0,03 2 + - 0,07 2 → E J = d 2 + 0,0058

Agora podemos escrever os vetores força e momento como:

F → 1 = F 1 . E H → E H = 77 0,11 0,06 i → + 0,06 j → - 0,07 k → → F → 1 = 42 i → + 42 j → - 49 k →

M → 1 = M 1 . E J → E J = 31 d 2 + 0,0058 - d i → + 0,03 j → - 0,07 k →

Passo 2

Agora, aplicando o somatório de momento para o ponto B em relação ao eixo z , lembrando que o enunciado nos disse que M 2 z = 0 , temos:

r → H / B × F → 1 z + M 1 z = 0

Dessa forma, substituindo o os valores encontrados no passo 1, temos:

0 0 1 0,31 - 0,0233 0 42 42 - 49 + - 0,07 ( 54 ) d 2 + 0,0058 = 0

0,31 42 - - 0,0233 42 + - 3,78 d 2 + 0,0058 = 0

3,78 d 2 + 0,0058 = 14,00 → d = 0 , 26   m

Passo 3

Agora para a letra ( b ) precisamos encontrar o valor da força F 2 e do binário M 2 , a força será a mesma força F 1 , então:

F → 2 = F → 1 → F → 2 = 42 i → + 42 j → - 49 k →   N

E o momento M 2 será dado por:

M → 2 = r → H / B × F → 1 + M → 1

M → 2 = i → j → k → 0,31 - 0,0233 0 42 42 - 49 + 54 0,26 2 + 0,0058 - 0,26 i → + 0,03 j → - 0,07 k →

M → 2 = i → j → k → 0,31 - 0,0233 0 42 42 - 49 + - 0,26 i → + 0,03 j → - 0,07 k → 0.270924 54

M → 2 = 1.1417 i + 15.19 j + 13.9986 k - 51.82 i + 5.98 j - 13.99 k

M → 2 = - 50.68 i → + 21,2 7 j →   N . m

Resposta

d = 0,26   m

F → 2 = 42 i → + 42 j → - 49 k →   N

M → 2 = - 50.68 i → + 21,27 j →   N . m

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