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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 118

Para o sistema de cabos dos Problemas 2.107 e 2.108, determine a tensão em cada cabo sabendo que P = 2880 N e Q = -576 N. (A direção de Q é para baixo).

Passo 1

Podemos escrever o somatório de forças no ponto A como:

∑ F → A = 0

T → A B + T → A C + T → A D - Q j → + P i → = 0

Agora precisamos escrever os vetores tensão em termos de suas coordenadas, para isso, precisamos primeiro escrever o vetor que liga esses pontos, então:

A B → = - 960 i → - 240 j → + 380 k →

A C → = - 960 i → - 240 j → - 320 k →

A D → = - 960 i → + 72 0 j → - 2 20 k →

Agora, calculando o módulo desses vetores:

A B = - 960 2 + - 240 2 + 380 2 → A B = 1060   m m

A C = - 960 2 + - 240 2 + - 320 2 → A C = 1040   m m

A D = - 960 2 + 72 0 2 + - 2 20 2 → A D = 122 0   m m

Agora podemos escrever os vetores tensão como:

T → A B = T A B . A B → A B = T A B - 48 53 i → - 12 53 j → + 19 53 k →

T → A C = T A C . A C → A C = T A C - 12 13 i → - 3 13 j → - 4 13 k →

T → A D = T A D . A D → A D = T A D - 48 61 i → + 3 6 61 j → - 11 61 k →

Passo 2

Agora substituindo os valores das tensões na equação de equilíbrio de forças do passo 1, temos:

T A B - 48 53 i → - 12 53 j → + 19 53 k → + T A C - 12 13 i → - 3 13 j → - 4 13 k → + T A D - 48 61 i → + 36 61 j → - 11 61 k → - Q j → + P i → = 0

Agora vamos separar as componentes i → ,   j → e k → :

- 48 53 T A B - 12 13 T A C - 48 61 T A D + P = 0

- 12 53 T A B - 3 13 T A C + 36 61 T A D - Q = 0

19 53 T A B - 4 13 T A C - 11 61 T A D = 0

Agora, substituindo os valores de P e Q dados no enunciado, as equações se tornam:

- 48 53 T A B - 12 13 T A C - 48 61 T A D + 2880 = 0

- 12 53 T A B - 3 13 T A C + 36 61 T A D - 576 = 0

19 53 T A B - 4 13 T A C - 11 61 T A D = 0

Passo 3

Agora, isolando T A B da terceira equação:

T A B = 0,858 T A C + 0,503 T A D

E, susbtituindo esse valor nas equações 1 e 2:

- 48 53 0,858 T A C + 0,503 T A D - 12 13 T A C - 48 61 T A D + 2880 = 0 → T A C = - 0,731 T A D + 1694,1

- 12 53 0,858 T A C + 0,503 T A D - 3 13 T A C + 36 61 T A D - 576 = 0 → T A D = 0,892 T A C + 1209,4

Substituindo esse valor na equação anterior:

T A C = - 0,731 0,892 T A C + 1209,4 + 1694,1 → T A C = 490,3   N

Substituindo esse valor na equação para T A D :

T A D = 0,892 490,3 + 1209,4 → T A D = 1646,8   N

Agora, substituindo esses dois valores na segunda equação do passo 2:

- 12 53 T A B - 3 13 490,3 + 36 61 1646,8 - 576 = 0 → T A B = 1248,7   N

Resposta

T A B = 1248,7   N

T A D = 1646,8   N

T A C = 490,3   N

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