Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 59
Determine a maior intensidade da carga distribuída que a viga pode suportar se a viga suporta um momento fletor máximo e uma força cortante máxima .
Passo 1
Para determinar os diagramas de esforço, em primeiro lugar as reações de apoio devem ser determinadas.
Em seguida, o eixo deve ser seccionado em posições a partir da extremidade esquerda que se estendem para partes entre forças, momentos ou carga distribuídas.
Para cada distância (espaço entre a extremidade esquerda e o ponto escolhido para seccionar), o diagrama de corpo livre deve ser feito indicando o esforço cortante e o momento fletor em suas convenções positivas, tal que é obtido através da soma das forças verticais e é obtido através da soma dos momentos em relação a extremidade esquerda.
Enfim, com os valores dessas duas variáveis determinadas é possível desenhar os diagramas de esforços e tirar conclusões sobre os valores máximos de cada variável.
Passo 2
Sendo assim, fazendo o DCL de toda a viga obtém-se:
Deve-se lembrar que a força resultante gerada por um carregamento retangular é dada por
E a posição do centroide é
Enquanto que para uma carga triangular serão dados por:
E:
Logo, para este caso, as resultantes serão dadas por:
E
E os centroides se encontram em:
E
Como não existem forças atuando no eixo horizontal, então é nulo.
Com isso, para se determinar as reações nos pontos e deve ser feito o somatório de momentos em relação a algum desses pontos.
Então, fazendo em relação ao ponto e considerando o sentido anti-horário como positivo:
Fazendo o somatório de forças em :
Passo 3
Após determinar as reações, como a força é descontínua no centro da viga, deve-se analisar as regiões antes e depois deste ponto.
Logo, fazendo o DCL da seção :
Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:
E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:
Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:
Dentro deste intervalo, um ponto de interesse é no qual o esforço cortante se torna nulo e, também,o momento fletor é máximo. Logo:
E obtém-se:
Portanto:
Passo 4
Em seguida, faz-se a análise da região após o centro e o DCL obtido será:
Tal intervalo analisado é .
Visto que neste intervalo o comprimento da base do carregamento triangular não é total, o valor da sua carga muda. Então, através de semelhança de triângulos tem-se:
Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:
E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:
Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:
1
Passo 5
Portanto, inserindo os resultados do esforço cortante obtidos no diagrama tem-se:
E para os resultados do momento fletor:
Passo 6
Através dos diagramas de esforços, pode-se notar que o valor máximo, em módulo, para o esforço cortante ocorre no ponto .
Como dito antes, para o momento fletor, o seu valor máximo ocorre no ponto em que o esforço cortante é nulo, ou seja, em .
Então, com isso, o esforço cortante máximo será dado por:
E o momento fletor máximo:
Comparando com os valores suportados pela viga, obtém-se:
E para o momento fletor:
Para garantir que a viga seja capaz de suportar as cargas distribuídas é escolhido o valor com menor intensidade. Logo: