Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 35
Levando em conta somente o efeito das tensões normais, determinar a energia de deformação da viga prismática para o carregamento mostrado.
Passo 1
Fala, pessoal bonito! Animados para mais um exercício de energia de deformação?
Nesse exercício precisamos calcular a energia de deformação da barra . Mas atenção! Nesse exercício vamos calcular apenas a energia de deformação da barra que é causada pelo momento fletor presente na barra. Deixaremos a força cortante de fora.
A equação que calcula essa energia da barra causada pelo momento fletor é:
onde é o comprimento total da barra , é o módulo de elasticidade e é o momento de inércia.
Para calcular o momento fletor , temos que achar as forças que atuam na barra. A figura abaixo mostra as forças atuando na barra .
é a força de reação causada pela restrição no ponto e é a força de reação causada pela restrição no ponto . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de momento. No entanto, apenas uma delas é suficiente para a gente achar o momento fletor . No próximo passo, calcularemos uma das duas forças então!
Passo 2
Como vamos calcular o momento fletor fazendo o equilíbrio da parte esquerda da barra, temos que conhecer apenas ! Podemos excluir , porque essa força não vai fazer parte do equilíbrio da parte esquerda da barra!
Para achar sem precisar achar , podemos calcular através da equação de equilíbrio de momento no ponto . Como a força não tem braço de alavanca em , ela não aparece na equação de equilíbrio de momento em .
Como a força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de .
Agora estamos aptos a achar !
Passo 3
Para achar precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra . Calcularemos o equilíbrio no ponto . O momento tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui a força e outro quando a parte esquerda inclui a força . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de .
Agora vamos calcular o segundo valor de .
Como a força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de .
Com esses valores de , podemos achar !
Passo 4
tem dois valores. Um quando vale entre e e outro, quando vale entre e .
Por isso, para substituir na integral que calcula , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de a para o primeiro valor de e outra que vai de a para o segundo valor de .
Substituindo os valores de nas integrais corretas, achamos:
Colocando as constantes para fora da integral, achamos: