Enunciado

Usando E = 200   G P a , determinar a energia de deformação devido à flexão, para a viga com o carregamento mostrado (desprezar o efeito das tensões de cisalhamento).

Passo 1

Ei, você aí! Você mesmo! Pronto para mais uma questão de energia de deformação?

Nesse exercício precisamos calcular a energia de deformação U da barra A B . Nesse exercício vamos calcular apenas a energia de deformação da barra que é causada pelo momento fletor M presente na barra. A equação que calcula essa energia U da barra causada pelo momento fletor M é:

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

onde L é o comprimento total da barra A B , E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia.

Para calcular o momento fletor M , temos que achar as forças que atuam na barra. A figura abaixo mostra as forças atuando na barra A B .

R A é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de forças em y . No próximo passo, calcularemos essas duas forças!

Passo 2

Para achar R A e R B através do equilíbrio de forças em y , precisamos notar que essa barra é simétrica! Isso significa que a força de reação da ponta esquerda da barra R A e a força de reação da ponta direita da barra R B são iguais!

R A = R B

Como as forças P 1 e P 2 da barra estão para baixo, elas ganham um sinal de menos na equação de equilíbrio em y .

Além disso, precisamos lembrar que as forças P 1 e P 2 de 90   k N vale 90 000   N .

∑ y F = 0

R A + R B - P 1 - P 2 = 0

R A + R A - 90 000 - 90000 = 0

2 R A = 180 000

R A = 900 00   N

Como R B é igual a R A :

R B = R A       ⟹       R B = 900 00   N

Agora estamos aptos a achar M !

Passo 3

Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra A B . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem três valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui as forças P 1 e P 2 . Outro quando a parte esquerda inclui a força P 1 . O último quando a parte esquerda inclui as forças P 1 e P 2 . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

∑ x M = 0

- M R A + M = 0       ⟹       - R A x + M = 0       ⟹       - 90000 x + M = 0       ⟹       M = 900 00 x

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

De novo precisamos observar que, como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

∑ x M = 0       ⟹       M P 1 - M R A + M = 0       ⟹       P 1 x - a - R A x + M = 0

90000 x - 0,6 - 90000 x + M = 0       ⟹       M = 54000   N × m

Por fim, vamos calcular o terceiro valor de M .

De novo (que saco, né?) precisamos observar que, como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

∑ x M = 0

M P 1 + M P 2 - M R A + M = 0

P 1 x - a + P 2 x - a + b - R A x + M = 0

90000 x - 0,6 + 90000 x - 0,6 + 2,0 - 90000 x + M = 0

M = - 90000 x - 3,2

Com esses valores de M , podemos achar U !

Passo 4

M tem dois valores. Um quando x vale entre 0 e a , outro quando x vale entre a e a + b e o terceiro quando x vale entre a + b e L

S e   0 ≤ x < a       ⟹       M = 90000 x

S e   a ≤ x ≤ a + b       ⟹       M = 54000   N × m

S e   a + b < x ≤ L       ⟹       M = - 90000 x - 3,2

Por isso, para substituir M na integral que calcula U , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de 0 a a para o primeiro valor de M , outra que vai de a a a + b para o segundo valor de M e a última que vai de a + b a L .

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x       ⟹       U = ∫ 0 a M 2 2 E I d x + ∫ a a + b M 2 2 E I d x + ∫ a + b L M 2 2 E I d x

Agora, temos que substituir os valores de M , E e I nas integrais corretas.

Antes disso, temos que converter o módulo de elasticidade E de G P a para P a , multiplicando por 10 9 .

E = 200   G P a       ⟹       E = 200 × 10 9   P a

O momento de inércia I do perfil da barra pode ser encontrado no apêndice C para o perfil S 250 X 37,8. Na tabela do apêndice C, o valor de I está em m m 4 . Para converter esse valor para m 4 , precisamos multiplicar por 10 - 12 .

I = 51,6 × 10 6   m m 4       ⟹       I = 51,6 × 10 - 6   m 4

Pronto, enfim podemos usar a integral para calcular U .

U = ∫ 0 0,6 90000 x 2 2 × 200 × 10 9 × 51,6 × 10 - 6 d x + ∫ 0,6 2,6 54000 2 2 × 200 × 10 9 × 51,6 × 10 - 6 d x +

+ ∫ 2,6 3,2 - 90000 x - 3,2 2 2 × 200 × 10 9 × 51,6 × 10 - 6 d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U = 392 , 44 ∫ 0 0,6 x 2   d x + 141,28 ∫ 0,6 2 , 6 1   d x + 392 , 44 ∫ 2 , 6 3,2 x - 3,2 2   d x

U = 392 , 44 x 3 3 0 0,6 + 141,28 x 0,6 2,6 + 392 , 44 x - 3,2 3 3 2 , 6 3,2

U = 392 , 44 × 0,6 3 3 + 141,28 × 2,6 - 0,6 - 392 , 44 × 2,6 - 3,2 3 3

U = 339   J

Resposta

U = 339   J

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