Enunciado

Mostrar por integração que a energia de deformação da barra A B , em forma de tronco de cone, é:

U = 1 4 P 2 L E A m í n  

onde A m í n é a área de seção transversal na extremidade B .

Passo 1

Oie, galerinha! Tudo certinho? Então bora fazer um exercício sobre energia de deformação!

Nesse problema o enunciado pede que a gente mostre como chegar na fórmula de energia de deformação U de um tronco de cone!

Mas qual é a grande diferença entre calcular U de um tronco e U de uma barra comum?

A diferença, como vemos pela figura acima é que a área de seção transversal A varia em um cone. Em uma barra normal ela não varia.

Mas quais os efeitos que isso tem sobre os cálculos que precisamos fazer para achar U ?!

Para entender melhor, precisamos olhar para a integral que usamos para calcular U .

U = ∫ 0 L P 2 2 A E d x

P é a força axial que traciona a barra, E é o módulo de elasticidade, L é o comprimento da barra e x é a distância axial da parede onde a barra está fixa até um ponto da barra.

Como a área A do tronco não é constante, não podemos tirar A da integral. Isso significa que para integrar, vamos precisar achar uma equação para A em função de x .

1 º   P a s s o       ⟹       A = ? ? ?

Como achar uma equação para o A é fundamental para resolver essa integral, isso será a primeira cosia que devemos fazer. Depois de achar essa equação de A , nós vamos resolver a integral pelo método de substituição simples. Por fim, a gente deve calcular quanto vale a área mínima A m í n do tronco e substituir o resultado na equação de U .

Passo 2

Nesse passo nós vamos achar uma equação da área A em função de x . Contudo, sabemos que a fórmula de uma área circular como a de um cone depende do raio R . A é igual a:

A = π × R 2

Por conta disso, para achar uma fórmula de A em função de x , temos que achar primeiro uma fórmula de R em função de x !

A figura abaixo mostra que R varia de forma linear com x . Ou seja, a equação de R em função de x é a equação de uma reta do tipo y = a x + b , onde y é o raio!

a é a inclinação da reta. Ou seja, ela é medida, calculando Δ y / Δ x .

a = Δ y Δ x       ⟹       a = c - 2 c L - 0       ⟹       a = - c L

b é o ponto onde a reta corta o eixo R . Ou seja, b é igual a:

b = 2 c

Substituindo isso na equação da reta R , achamos:

R = a x + b

R = - c L x + 2 c

R = - c L x + 2 c L L

R = c L 2 L - x

Substituindo essa equação de R na equação de A , achamos:

A = π × R 2       ⟹       A = π × c L 2 L - x 2       ⟹       A = π × c 2 L 2 2 L - x 2

Pronto, achamos A . Agora vamos substituir A na integral para achar U !

Passo 3

Nesse passo a gente vai achar U , resolvendo a integral pelo método de substituição simples!

Então sem enrolação! Vamos substituir a equação de A que encontramos na integral.

U = ∫ 0 L P 2 2 A E d x

U = ∫ 0 L P 2 2 π × c 2 L 2 2 L - x 2 E d x

Vamos colocar todas as constantes para fora da integral, porque elas não interferem na integração.

U = P 2 2 π × c 2 L 2 × E ∫ 0 L 1 2 L - x 2 d x

Agora vamos substituir 2 L - x por u e d x por - d u .

U = P 2 2 π × c 2 L 2 × E ∫ 0 L 1 u 2 - d u

Resolvendo a integral e fazendo u virar 2 L - x de novo, achamos:

U = P 2 2 π × c 2 L 2 × E 1 2 L - x 0 L

U = P 2 2 π × c 2 L 2 × E 1 L - 1 2 L

U = P 2 2 π × c 2 L 2 × E 1 2 L

Organizando a equação de U , achamos:

U = P 2 L 4 π c 2 E

Passo 4

Enfim estamos prontos para cumprir a última etapa da demonstração que é dividir U pela área mínima A m í n !

Mas quanto vale a área mínima A m í n ?

O raio dessa área vale c . Logo:

A m í n = π c 2

π c 2 está no denominador de U . Substituindo esse π c 2 por A m í n , achamos:

U = P 2 L 4 π c 2 E

U = P 2 L 4 A m í n E

Aeeee! Mostramos como se chega nessa fórmula. Demorou, mas conseguimos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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