Enunciado

Usando E = 200   G P a , determinar a energia de deformação devido à flexão, para a viga com o carregamento mostrado (desprezar o efeito das tensões de cisalhamento).

Passo 1

Fala, pessoal bonito! Animados para mais um exercício de energia de deformação?

Nesse exercício precisamos calcular a energia de deformação U da barra A C . Nesse exercício vamos calcular apenas a energia de deformação da barra que é causada pelo momento fletor M presente na barra. A equação que calcula essa energia U da barra causada pelo momento fletor M é:

U = ∫ 0 a + L M 2 2 E I d x

onde a + L é o comprimento total da barra A C , E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia.

Para calcular o momento fletor M , temos que achar as forças que atuam na barra. A figura abaixo mostra as forças atuando na barra A C .

R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B e R C é a força de reação causada pela restrição no ponto C . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de momento. No entanto, apenas uma delas é suficiente para a gente achar o momento fletor M . No próximo passo, calcularemos uma das duas forças então!

Passo 2

Como vamos calcular o momento fletor M fazendo o equilíbrio da parte esquerda da barra, temos que conhecer apenas R B ! Podemos excluir R C , porque essa força não vai fazer parte do equilíbrio da parte esquerda da barra!

Para achar R B sem precisar achar R C , podemos calcular R B através da equação de equilíbrio de momento no ponto C . Como a força R C não tem braço de alavanca em C , ela não aparece na equação de equilíbrio de momento em C .

Como a força R B faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R B .

Além disso, precisamos lembrar que a força P de 18   k N vale 18 × 10 3   N .

∑ C M = 0

- M B + M P = 0

- R B L + P a + L = 0

- R B × 2,4 + 18 × 10 3 × 0,6 + 2,4 = 0

R B = 18 × 10 3 × 0,6 + 2,4 2,4

R B = 22500   N

Agora estamos aptos a achar M !

Passo 3

Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra A C . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui a força R B e outro quando a parte esquerda inclui a força R B . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

∑ x M = 0

M P + M = 0

P x + M = 0

18000 x + M = 0

M = - 18000 x

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

Como a força R B faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R B .

∑ x M = 0

M P - M B + M = 0

P x - R B x - a + M = 0

18000 x - 22500 x - 0,6 + M = 0

M = 4500 x - 3

Com esses valores de M , podemos achar U !

Passo 4

M tem dois valores. Um quando x vale entre 0 e a e outro, quando x vale entre a e a + L .

S e   0 ≤ x < a       ⟹       M = - 18000 x

S e   a < x ≤ a + L       ⟹       M = 4500 x - 3

Por isso, para substituir M na integral que calcula U , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de 0 a a para o primeiro valor de M e outra que vai de a a a + L para o segundo valor de M .

U = ∫ 0 a + L M 2 2 E I d x

U = ∫ 0 a M 2 2 E I d x + ∫ a a + L M 2 2 E I d x

Agora, temos que substituir os valores de M , E e I nas integrais corretas.

Antes disso, temos que converter o módulo de elasticidade E de G P a para P a , multiplicando por 10 9 .

E = 200   G P a       ⟹       E = 200 × 10 9   P a

O momento de inércia I do perfil da barra pode ser encontrado no apêndice C para o perfil W150 X 13,5. Na tabela do apêndice C, o valor de I está em m m 4 . Para converter esse valor para m 4 , precisamos multiplicar por 10 - 12 .

I = 6,83 × 10 6   m m 4       ⟹       I = 6,83 × 10 - 6   m 4

Pronto, enfim podemos usar a integral para calcular U .

U = ∫ 0 0,6 - 18000 x 2 2 × 200 × 10 9 × 6,83 × 10 - 6 d x + ∫ 0,6 3 4500 x - 3 2 2 × 200 × 10 9 × 6,83 × 10 - 6 d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U = 118,59 ∫ 0 0,6 x 2   d x + 7 , 41 ∫ 0,6 3 x - 3 2   d x

U = 118,59 x 3 3 0 0,6 + 7 , 41 x - 3 3 3 0,6 3

U = 118,59 × 0,6 3 3 - 7 , 41 × 0,6 - 3 3 3

U = 42,7   J

Resposta

U = 42,7   J

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