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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 80

Localize o centro de massa ( overset(-)(x) , overset(-)(y) , overset(-)(z) ) do sólido homogêneo.

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Queremos a massa e a localização ( overset(-)(x) , overset(-)(y) , overset(-)(z) ) do centro de massa G desta placa composta de aço e latão.

Para o cálculo da massa, temos que:

m = rho * V

O volume da placa é igual ao produto do comprimento, largura e espessura do elemento.

Vamos dividir o elemento da seguinte maneira:

A massa da parte 1 será:

m_1 = (7,85 M g // m^3) (1000 (k g)/(M g)) * (150 * 10^(- 3) m) (225 * 10^(- 3) m) (30 * 10^(- 3) m)

m_1 = 7,85 * 10^3 * 0,15 * 0,225 * 0,3

m_1 = 7,95 k g

A massa da parte 2 será:

m_2 = (7,85 M g // m^3) (1000 (k g)/(M g)) * ((1)/(2)) (150 * 10^(- 3) m) (225 * 10^(- 3) m) (30 * 10^(- 3) m)

m_2 = 7,85 * 10^3 * (1)/(2) * 0,15 * 0,225 * 0,3

m_2 = 3,975 k g

A massa da parte 3 será:

m_3 = (8,74 M g // m^3) (1000 (k g)/(M g)) * ((1)/(2)) (150 * 10^(- 3) m) (225 * 10^(- 3) m) (30 * 10^(- 3) m)

m_3 = 8,74 * 10^3 * (1)/(2) * 0,15 * 0,225 * 0,3

m_3 = 4,425 k g

Passo 2

A localização do centroide do elemento 1 com relação a x será:

x_1 = (0,150)/(2)

x_1 = 0,075 m

A localização do centroide do elemento 2 com relação a x será:

x_2 = (0,15)/(3) + 0,15

x_2 = 0,2 m

A localização do centroide do elemento 3 com relação a x será:

x_3 = 0,15 ((2)/(3)) + 0,15

x_1 = 0,25 m

Passo 3

A localização do centroide do elemento 1 com relação a z será:

z_1 = (0,225)/(2)

z_1 = 0,1125 m

A localização do centroide do elemento 2 com relação a z será:

z_2 = (2)/(3) ( 0,225 )

z_2 = 0,15 m

A localização do centroide do elemento 3 com relação a x será:

z_3 = (1)/(3) (0,225)

z_1 = 0,075 m

Passo 4

De posse destes dados podemos encontrar o centroide do elemento inteiro, bem como sua massa total.

Temos que:

M = sum m_i

Logo:

M = m_1 + m_2 + m_3

M = 7,95 + 3,975 + 4,425

M = 16,35 k g

O centro de massa da placa composta em torno de x será:

overset(-)(x) = (sum x_i m_i)/(sum m_i)

overset(-)(x) = ((0,075) (7,95) + (0,2) (3,975) + (0,25) (4,425))/(16,35)

overset(-)(x) = 0,15275 m

O centro de massa da placa composta em torno de y será:

overset(-)(y) = - (1)/(2) (30 * 10^(- 3))

overset(-)(y) = - 0,015 m

O centro de massa da placa composta em torno de z será:

overset(-)(z) = (sum z_i m_i)/(sum m_i)

overset(-)(z) = ((0,1125) (7,95) + (0,15) (3,975) + (0,075) (4,425))/(16,35)

overset(-)(z) = 0,11145 m

Resposta

overset(-)(x) = 0,15275 m

overset(-)(y) = - 0,015 m

overset(-)(z) = 0,11145 m

M = 16,35 k g

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