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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 32

Localize o centroide overset(-)(x) da área.

Passo 1

Vamos tomar nosso exercício como uma região do Tipo II e sendo assim nosso elemento diferencial como a área dada por:

d A = ( x_1 - x_2 ) ⅆ y

Deixando nossas curvas em função de x , temos:

x_1 = (y)/(2)

x_2 = (y^2)/(4)

Logo, nosso d A fica:

d A = ((y)/(2) - (y^2)/(4)) d y

Para o centroide do nosso elemento diferencial, em overset(-)(x) temos a altura mais a metade do comprimento de uma curva a outra:

overset(-)(x) = x_2 + (x_1 - x_2)/(2) = (1)/(2) (x_1 + x_2) = (1)/(2) ((y)/(2) + (y^2)/(4))

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = int_A ⅆ A

A = int_0^2 ((y)/(2) - (y^2)/(4)) ⅆ y = [(1)/(4) y^2 - (1)/(12) y^3]_0^2 = (1)/(3) m^2

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide overset(-)(x) :

overset(-)(x) = (int_A overset(-)(x) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(x) = (int_0^2 (1)/(2) ((y)/(2) + (y^2)/(4)) ((y)/(2) - (y^2)/(4)) ⅆ y)/((1)/(3)) = ([(1)/(2) ((1)/(12) y^3 - (1)/(80) y^5)]_0^2)/((1)/(3)) = ((2)/(15))/((1)/(3)) = (2)/(5) m

Resposta

overset(-)(x) = (2)/(5) m

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Localize o centroide overset(-)(x) da área.
Localize o centroide overset(-)(x) da área.
Localize o centroide overset(-)(x) do setor circular.