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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 27

Localize o centroide overset(-)(y) da área.

Passo 1

Vamos tomar nosso elemento diferencial como a área em cinza mostrada na figura:

Essa área é dada por:

d A = ( y_1 - y_2 ) ⅆ x

Colocando nossa função em relação a x temos y_1 = x^(1 // 2) , e y_2 = x^2 , nosso d A fica:

d A = (x^(1 // 2) - x^2) d x

Para o centroide do nosso elemento diferencial overset(-)(y) temos:

overset(-)(y) = y_2 + (( y_1 - y_2 ))/(2) = (( y_1 + y_2 ))/(2)

overset(-)(y) = (1)/(2) (x^(1 // 2) - x^2)

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = int_A ⅆ A

A = int_0^1 (x^(1 // 2) - x^2) ⅆ x = [(2)/(3) x^((3)/(2)) - (1)/(3) x^3]_0^1 = (1)/(3) m^2

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide overset(-)(y) :

overset(-)(y) = (int_A overset(-)(y) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(y) = (int_0^1 (1)/(2) (x^(1 // 2) - x^2) (x^(1 // 2) - x^2) ⅆ x)/((1)/(3)) = ((1)/(2) [(1)/(2) x^2 - (1)/(5) x^5]_0^1)/((1)/(3)) = (9)/(20) m

Resposta

overset(-)(y) = (9)/(20) m

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