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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 141c

O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determinar: (c) o ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.

Passo 1

Para calcular o ângulo entre a linha neutra e o plano ( α ) vamos ter de utilizar a seguinte equação:

I y ⋅ t a n ϕ = I z ⋅ t a n ( θ )

Onde, θ = β = 50 ° e o ângulo ϕ é igual à soma de β com α .

Passo 2

Então vamos seguir nosso passo-a-passo e calcular o momento de inércia desse corpo para os dois eixos y e z . Começando pelo eixo y :

Vamos lembrar que o momento de inércia da barra é:

I = 1 12 b ⋅ h 3

I 1 = 1 12 ⋅ 260 × 10 - 3 ⋅ 150 × 10 - 3 3

I 1 = 7,3125 × 10 - 5   m 4

Porém devemos substratir o efeito dos dois furos existentes na peça, para calcular o momento de inércia destes dois furos vamos fazer:

I 2 = 2 × 1 4 π ⋅ r 4

I 2 = 2 × 1 4 π ⋅ 25 × 10 - 3 4

I 2 = 2 × ( 3,068 × 10 - 7 )

I 2 = 6,136 × 10 - 5   m 4

Logo o momento de inércia total é a diferença entre os dois valores:

I z = I 1 - I 2

I z = 7,3125 × 10 - 5 - 6,136 × 10 - 5  

I z = 1,1765 × 10 - 5   m 4

Agora faremos a mesma coisa mas considerando o eixo y :

I 1 = 1 12 b ⋅ h 3

I 1 = 1 12 ⋅ 150 × 10 - 3 ⋅ 260 × 10 - 3 3

I 1 = 2,197 × 10 - 4   m 4

Substraindo o efeito dos dois furos existentes na peça, para calcular o momento de inércia destes dois furos vamos fazer:

I 2 = 2 × 1 4 π ⋅ r 4 + A ⋅ d 2

I 2 = 2 × 1 4 π ⋅ 25 × 10 - 3 4 + π ⋅ ( 25 × 10 - 3 ) ² ⋅ ( 65 × 10 - 3 ) 2

I 2 = 2 × ( 3,068 × 10 - 7 + 8,296 × 10 - 6 )

I 2 = 1,721 × 10 - 5   m 4

Logo o momento de inércia total é a diferença entre os dois valores:

I y = I 1 - I 2

I y = 2,197 × 10 - 4 - 1,721 × 10 - 5  

I y = 2,0249 × 10 - 4   m 4

Passo 3

Para calcular o ângulo que a linha neutra faz com o plano horizontal devemos utilizar a equação:

I y ⋅ t a n ϕ = I z ⋅ t a n ( θ )

t a n ϕ = I z ⋅ t a n θ I y

t a n ϕ = 1,1765 × 10 - 5 ⋅ t a n 50 ° 2,0249 × 10 - 4

t a n ϕ = 0,06924

ϕ = 3,96 °

α = 3,96 ° - 50 ° = - 46,04 °

Resposta

α = - 46,04 °

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