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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 138

O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada conforme mostra a figura. Determine:

  1. O ângulo que a linha neutra forma com a horizontal e.
  2. A tensão de tração máxima na viga.

Passo 1

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M y = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   y

y   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I y y = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

E vamos ver que a melhor forma de determinarmos esses valores vai ser sendo só rotacionar as seções, o que torna tudo mais tranquilo.

E por fim, ainda temos que determinar o ângulo que a LN faz com a horizontal, e para isso usaremos a seguinte conta:

T g   ∅ = I z z I y y   t a g θ

θ = â n g u l o   e n t r e   o   m o m e n t o   f l e t o r e   a p l i c a d o   e   a   h o r i z o n t a l

Ou seja, precisamos seguir um passo a passo para podermos determinar as tensões, então vamos lá:

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, para isso, precisamos prestar a atenção que devemos abrir os momentos na direção da nossa seção, assim, podemos ver o seguinte:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Como podemos ver no caso anterior, a LN está na posição de simetria, então precisamos determinar os momentos de inércia e as distancias em y e em z, olhando cada direção teremos que:

  • I z z

    • Podemos retirar isso do nosso enunciado.

    I z z = 8907 × 10 3   m m 4

    Aqui vamos ter que tomar um cuidado maior do que antes, pois perceba que o momento em Z vai tracionar o ponto mais distante da LN, assim como o ponto mais próximo, porém o momento na outra direção não vai coincidir, já que teremos tração apenas no trecho inferior, ou seja, se quisermos a tração máxima, nesse caso, deveremos usar o ponto mais distante da LN que se encontra na parte inferior da seção, ou seja, assim teremos que usar o seguinte valor de y:

    E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima de tração, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

    σ t r a ç ã o = - M z y t r a ç ã o I z z

    Com isso teremos que:

    M z = 1198,55   k N m m = 1198550   N m m

    I z z = 8907 × 10 3   m m 4

    y t r a ç ã o = - 6,35   m m

    σ t r a ç ã o = - M z y t r a ç ã o I z z = - 1198550 N m m   - 6,35 m m 8907 × 10 3   m m 4 = 13,67 N m m 2

    σ t r a ç ã o = 0,85   M P a

    Agora vamos ao cálculo na outra direção.

  • I y y

Olhando a seção y apenas com o momento nessa direção teremos que:

Podemos retirar isso do nosso enunciado

I y y = 2805 × 10 3   m m 4

Nessa seção temos que determinar a tensão máxima de tração, e para isso precisamos do valor de Z, sendo assim teremos que:

E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

σ t r a ç ã o = M y z t r a ç ã o I y y

Com isso teremos que:

M y = - 1198,55   k N m m = - 1198550   N m m

I y y = 2805 × 10 3   m m 4

Z t r a ç ã o = - 79,78   m m

σ t r a ç ã o = M y z t r a ç ã o I y y = - 1198550 N m m   - 79,78 m m 2805 × 10 3   m m 4 = 34,08 N m m 2

σ t r a ç ã o = 34,08   M P a

E assim podemos determinar a máxima tensão de tração:

σ t r a ç ã o = 0,85 + 34,08 = 34,9   M P a  

Passo 3

Agora determinado o ângulo que a LN faz com a horizontal, lembrando que devemos usar a seguinte fórmula:

T g   ∅ = I z z I y y   t a g θ

E sabemos que:

I z z = 8907 × 10 3   m m 4

I y y = 2805 × 10 3   m m 4

θ = - 45 °

T g   ∅ = 8907 × 10 3 2805 × 10 3   t a g - 45 ° = - 3,18

∅ = - 72,51 °

E como sabemos que a seção já está girada a 45 ° com relação a horizontal, teremos que a rotação da LN com relação a horizontal vai ser exatamente a diferença entra a rotação total e a rotação da seção, assim temos que:

 n g u l o   L N x h o r i z o n t a l = - 45 ° - ( - 72,5 ° ) = 27,5 °

Resposta

  1. 27,5 °

  2. σ t r a ç ã o = 34,9   M P a  
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