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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 146a

O momento M atua em um plano vertical e está aplicado a uma viga orientada como mostrado. Determinar: (a) o ângulo que o eixo neutro forma com o plano horizontal.

Passo 1

Para calcular o ângulo entre a linha neutra e o plano ( α ) vamos ter de utilizar a seguinte equação:

I y ⋅ t a n ϕ = I z ⋅ t a n ( θ )

Onde, θ = β = 15 ° e o ângulo ϕ é igual à soma de β com α .

Passo 2

Então vamos seguir nosso passo-a-passo e calcular o momento de inércia desse corpo para os dois eixos y e z . Primeiro para o eixo z

I z = 1 12 b h 3 - 2 × 1 12 b ' h ' 3 + A ⋅ d ²

O primeiro termo refere-se ao retângulo grande enquanto o segundo aos dois “buracos” retangulares na peça

I 1 = 1 12 ⋅ 100 × 10 - 3 ⋅ 60 × 10 - 3 3

I 1 = 1,8 × 10 - 6   m 4

I 2 = 2 × 1 12 ⋅ 50 × 10 - 3 ⋅ 10 × 10 - 3 3 + 50 × 10 - 3 ⋅ 10 × 10 - 3 ⋅ ( 25 × 10 - 3 ) ²

I 2 = 2 × ( 4,1667 × 10 - 9 + 3,125 × 10 - 7 )

I 2 = 6,33 × 10 - 7   m 4

I z = I 1 - I 2

I z = 1,8 × 10 - 6 - 6,33 × 10 - 7  

I z = 1,167 × 10 - 6   m 4

Agora para o eixo y

I y = 1 12 b h 3 - 2 × 1 12 b ' h ' 3

I 1 = 1 12 ⋅ 60 × 10 - 3 ⋅ 100 × 10 - 3 3

I 1 = 5 × 10 - 6   m 4

I 2 = 1 12 ⋅ 10 × 10 - 3 ⋅ ( 50 × 10 - 3 ) ³

I 2 = 1,04 × 10 - 7   m 4

I y = I 1 - I 2

I y = 5 × 10 - 6 - 1,04 × 10 - 7

I y = 4,896 × 10 - 6   m 4

Passo 3

Para calcular o ângulo que a linha neutra faz com o plano horizontal devemos utilizar a equação:

I y ⋅ t a n ϕ = I z ⋅ t a n ( θ )

t a n ϕ = I z ⋅ t a n θ I y

t a n ϕ = 1,167 × 10 - 6 ⋅ t a n 15 ° 4,896 × 10 - 6

t a n ϕ = 0,064

ϕ = 3,65 °

α = 15 ° - 3,65 ° = 11,35 °

Resposta

α = 11,35 °

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