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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 150

O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar a tensão no ponto A .

Passo 1

Para resoluções de questões deste tipo temos de desenhar o ciclo de Mohr, para determinar os eixos principais e os correspondentes momentos de inércia. Depois vamos Decompor o momento M na direção destes eixos e finalmente calcular a tensão. Ou seja, vamos seguir o seguinte passo-a-passo:

  1. Desenhar o ciclo de Mohr.
  2. Achar os eixos principais.
  3. Decompor o momento sobre estes eixos.
  4. Achar os pontos u e v relativos ao novo eixo.
  5. Calcular a tensão com relação aos novos eixos.

Para este caso especial vamos ter que achar os momentos de inércia antes de tudo.

Passo 2

Calculando os momentos de inércia I z e I y , lembrando do momento de inércia de um retângulo:

I = 1 12 b h ³

E o teorema dos eixos paralelos

I = I 0 + A ⋅ d ²

I y = 1 12 ⋅ 240 × 10 - 3 ⋅ 120 × 10 - 3 3 - 2 ⋅ 1 12 ⋅ 60 × 10 - 3 4 + 60 × 10 - 3 2 ⋅ ( 30 × 10 - 3 ) ²

I y = 3,456 × 10 - 5 - 2 ⋅ [ 1,08 × 10 - 6 + 3,24 × 10 - 6 ]   m 4

I y = 3,456 × 10 - 5 - 8,64 × 10 - 6   m 4

I y = 2,592 × 10 - 5   m 4

Para o eixo z

I z = 1 12 ⋅ 120 × 10 - 3 ⋅ 240 × 10 - 3 3 - 2 ⋅ 1 12 ⋅ 60 ⋅ 10 - 3 4 + ( 60 × 10 - 3 ) ² ⋅ ( 90 × 10 - 3 ) ²

I z = 1,3824 × 10 - 4 - 2 ⋅ ( 1,08 × 10 - 6 + 2,916 × 10 - 5 )

I z = 1,3824 × 10 - 4 - 6,048 × 10 - 5

I z = 7,776 × 10 - 5   m 4

O produto de inércia I z y

I z y = I 0 + A ⋅ Δ z ⋅ Δ y

Como as figuras são simétricas (retângulos) I 0 = 0

I z y = 180 ⋅ 60 ⋅ 30 ⋅ 30 + 180 ⋅ 60 ⋅ ( - 30 ) ⋅ ( - 30 )

I z y = 19440000   m m 4 = 1,944 × 10 - 5   m 4

Passo 3

Desenhar o ciclo de Mohr, nós temos a forma geral:

Os momentos do inércia já foram dados então precisamos calcular o ângulo 2 θ m da seguinte forma:

t g ( 2 θ m ) = F Z E F

E calculamos também o raio R da forma:

R 2 = E F 2 + ( F Z ) ²

Assim como o I m é d i o

I m é d i o = I y + I z 2

Show de bola! Agora é só substituir os valores que a gente tem na nossa questão:

I m é d i o = 2,592 × 10 - 5 + 7,776 × 10 - 5 2 = 5,184 × 10 - 5   m 4

Calculando o ângulo 2 θ m

t g ( 2 θ m ) = F Z E F

t g ( 2 θ m ) = 1,944 × 10 - 5 7,776 × 10 - 5 - 5,184 × 10 - 5

t g ( 2 θ m ) = 1,944 7,776 - 5,184

t g ( 2 θ m ) = 0,75

2 θ m = 36,87 °

Logo

θ m = 36,87 ° 2 = 18,43 °

Achando o raio R :

R 2 = E F 2 + ( F Z ) ²

R 2 = 2,592 2 + ( 1,944 ) ²

R 2 = 10,4976

R = 10 , 4976 = 3,24 × 10 - 5   m 4

Passo 4

Agora vamos achar os eixos principais, essa parte é mais tranquila do que a anterior e consiste basicamente em achar os pontos U e V :

I u = I m é d i o - R

I u = 5,184 × 10 - 5 - 3,24 × 10 - 5   = 1,944 × 10 - 5   m 4

I v = I m é d i o + R

I v = 5,184 × 10 - 5 + 3,24 × 10 - 5   = 8,424 × 10 - 5   m 4

Podemos observar que:

I m á x = I v = 8,424 × 10 - 5   m 4

I m í n = I u = 1,944 × 10 - 5   m 4

Passo 5

Agora vamos decompor o momento M sobre estes eixos ( U e V ) que acabamos de encontar. Note que o novo eixo ficará da seguinte forma.

M u = - M ⋅ s e n ( θ m )

M u = - 14 ⋅ s e n 18,43 ° = - 4,43   k N ⋅ m

M v = M ⋅ c o s ( θ m )

M v = 14 ⋅ c o s 18,43 ° = 13,282   k N ⋅ m

Passo 6

Já os novos pontos nós vamos achar de forma parecida:

u A = y A ⋅ c o s θ m - z A ⋅ s e n ( θ m )

u A = 120 ⋅ c o s 18,43 ° - 60 ⋅ s e n ( 18,43 ° )

u A = 113,85 - 18,97 = 94,88   m m

v A = y A ⋅ s e n ( θ m ) + z A ⋅ c o s ( θ m )

v A = - 120 ⋅ s e n ( 18,43 ° ) + 60 ⋅ c o s ( 18,43 ° )

v A = - 37,94 + 56,92 = 18,98   m m

Passo 7

Calcular a tensão relativa aos eixos u e v

σ A = M u ⋅ v A I u - M v ⋅ u A I v

σ A = - 4 43 0     ⋅ 0,01898 1,944 × 10 - 5 - 13282   ⋅ 0,09488 8,424 × 10 - 5

σ A = - 4,33   M P a - 14,96   M P a = - 19,29   M P a

Resposta

σ A = - 19,29   M P a

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