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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 95

O movimento tridimensional de uma partícula é definido pelo vetor de posição r = (Rt cos ω nt)i + ctj + (Rt sen ω nt)k. Determine as intensidades da velocidade e aceleração da partícula. (A curva espacial descrita pela partícula é uma hélice cônica.)

Passo 1

E ai gurizada tudo certinho? O enunciado que a gente determine as intensidades da velocidade e aceleração da partícula. (A curva espacial descrita pela partícula é uma hélice cônica.)

Nós temos

r = R t cos ⁡ ω n t i + c t j + R t sin ⁡ ω n t k

Então

v = d r d t = R cos ⁡ ω n t - ω n t sin ⁡ ω n t i + c j + R sin ⁡ ω n t + ω n t cos ⁡ ω n t k

e

a = d v d t = R - ω n sin ⁡ ω n t - ω n sin ⁡ ω n t - ω n 2 t cos ⁡ ω n t i

+ R ω n cos ⁡ ω n t + ω n cos ⁡ ω n t - ω n 2 t sin ⁡ ω n t k

= R - 2 ω n sin ⁡ ω n t - ω n 2 t cos ⁡ ω n t i + R 2 ω n cos ⁡ ω n t - ω n 2 t sin ⁡ ω n t k

Passo 2

Agora

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 = [ R cos 2 ω n t - ω n t sin ⁡ ω n t ] 2 + ( c ) 2 + [ R sin ⁡ ω n t + ω n t cos ⁡ ω n t ] 2

= R 2 cos 2 ω n t - 2 ω n t sin ⁡ ω n t cos ⁡ ω n t + ω n 2 t 2   sin 2   ω n t

+ sin 2   ω n t + 2 ω n t sin ⁡ ω n t cos ⁡ ω n t + ω n 2 t 2   cos 2   ω n t + c 2 = R 1 + ω n 2 t 2 + c 2

Passo 3

Além disso a aceleração é dada por:

a 2 = a x 2 + a y 2 + a z 2 = R - 2 ω n sin ⁡ ω n t - ω n 2 t cos ⁡ ω n t 2 + ( 0 ) 2

+ R 2 ω n cos ⁡ ω n t - ω n 2 t sin ⁡ ω n t ] 2 = R 2 4 ω n 2   sin 2   ω n t + 4 ω n 3 t sin ⁡ ω n t cos ⁡ ω n t + ω n 4 t 2   cos 2   ω n t

+ 4 ω n 2   cos 2   ω n t - 4 ω n 3 t sin ⁡ ω n t cos ⁡ ω n t + ω n 4 t 2   sin 2   ω n t

= R 2 4 ω n 2 + ω n 4 t 2

Resposta

v = R 2 1 + ω n 2 t 2 + c 2

a = R ω n = 4 + ω n 2 t 2

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